Hauptvektor bestimmen?

Ist die Jordan Normalform eindeutig?

Man nennt eine solche Matrix J die Jordanform oder Jordansche Normalform von A (wir werden in Aufgabe 20.22 noch sehen, dass sie bis auf die Reihenfolge der Blöcke eindeutig bestimmt ist).

Kann jede Matrix in Jordan Normalform?

Dieses kurze Skript soll die jordansche Normalform erklären, die auch oft als Trigonalisierung von Matrizen bezeichnet wird, da man die Matrix auf eine bestimmte Dreiecksgestalt bringt. Die Hauptaussage ist, dass jede Matrix mit komplexen Einträgen auf diese Normalform gebracht werden kann.

Was ist die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ 2?

Eine andere Vielfachheit zu Eigenwerten ist die geometrische Vielfachheit. Sie gibt bei einem Eigenraum (zu einem bestimmten Eigenwert) die Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren an. dann ist die geometrische Vielfachheit von λ2 die Anzahl der Buchstaben, hier also 2.

Was ist die Vielfachheit einer nullstelle?

Die Vielfachheit einer Nullstelle gibt an, wie oft eine bestimmte Nullstelle bei einer Funktion vorkommt. kommt die Nullstelle nur einmal vor. Es handelt es also um eine einfache Nullstelle oder eine Nullstelle mit der Vielfachheit 1.

Kann geometrische Vielfachheit Null sein?

(b) λ ∈ K ist kein Eigenwert von ϕ : V → V ⇔ die geometrische Vielfachheit von λ ist 0 ⇔ die algebraische Vielfachheit von λ ist 0.

Was ist die Normalform einer Matrix?

Durch einen Basiswechsel ändert sich die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung. Matrixtheoretisch bedeutet dies, dass man jede Matrix durch Multiplikation mit geeigneten invertierbaren Matrizen in diese so genannte Normalform bringen kann. ...

Was ist ein Jordankästchen?

elementarer Jordan-Block, Jordan-Block, eine (p × p)-Matrix A = (a_ij) über K = ℝ oder ℂ, bei der alle Einträge auf der Hauptdiagonalen gleich sind, bei der in der Nebendiagonalen oberhalb der Hauptdiagonalen lauter Einsen stehen, und die sonst nur Nullen als Einträge aufweist.

Wann ist eine Matrix Diagonalisierbar?

Definition. Eine quadratische Matrix A ∈ C(n,n) heißt diagonalisierbar, wenn es eine Matrix X ∈ GL(n,C) gibt mit A = XDX−1 .

Sind Hauptvektoren eindeutig?

Hauptvektoren höherer als erster Stufe sind nie eindeutig bestimmt. Das liegt daran, daß für einen HV v k-ter Stufe und einen HV w kleinerer als k-ter Stufe die Linearkombination v + α w ein HV k-ter Stufe ist.

Wann sind Eigenwerte komplex?

Jede n×n Matrix besitzt genau n Eigenwerte, wenn diese gemäß ihrer Vielfachheit gezählt werden. Bemerkung. Liegt eine reelle Matrix A vor, dann treten die kom- plexen Eigenwerte als konjugiert komplexe Paare auf, und die zugehörigen komplexen Eigenvektoren sind ebenfalls zueinander konjugiert komplex.

Wann sind Eigenwerte reell?

Es gilt: Alle Eigenwerte einer symmetrischen oder hermiteschen Matrix sind reell. Eine reelle Matrix A heißt orthogonal, wenn gilt: AAT = E d. h. AT = A−1 , wobei E die Einheitsmatrix darstellt. Eine komplexwertige Matrix A heißt unitär, wenn gilt: AA† = E d. h. A† = A−1 .

Wie bestimmt man die Vielfachheit von Nullstellen?

Wann ist es eine Nullstelle?

Die Nullstellen einer Funktion f sind geometrisch gesehen die Schnittpunkte des Graphen der Funktion f mit der x-Achse. Funktionen können keine, eine, mehrere und sogar unendlich viele Nullstellen haben.

Was macht man mit Nullstellen?

Nullstellen wichtiger Funktionen

Nullstellen sind jene -Werte, die eingesetzt in die Funktion den Funktionswert Null liefern. Im Folgenden wird vorausgesetzt, dass du weißt, wie man Gleichungen löst.

Wie viele verschiedene Eigenwerte kann eine Matrix haben?

Prinzipiell hat eine Matrix soviele Eigenwerte wie sie Zeilen/Spalten hat (Eigenwerte gibt es nur bei quadratischen Matrizen). Dabei kann es auch vorkommen, dass ein Eigenwert mehrfach auftritt.

Was ist eine Eigenwertgleichung?

Gleichung, mit deren Hilfe Eigenwerte bestimmt werden. Ist A eine (n × n)-Matrix, so werden die Eigenwerte von A durch die Gleichung Ax = λx beschrieben. + a₁λ + a₀ führt dies zu der algebraischen Gleichung p_A(λ) = 0. ...

Was ist Algebraisch?

algebraisch (Deutsch)

al·ge·b·ra·isch, keine Steigerung. Bedeutungen: [1] die Algebra betreffend. ... [1] „Die algebraisch definierten rationalen Funktionen werden um die Exponentialfunktion und ihre Verwandten und viele andere, durch Differentialgleichungen und Potenzreihen gegebene spezielle Funktionen ergänzt.

Wann ist eine Matrix Kommutativ?

Die Multiplikation von Diagonalmatrizen

Die Matrixmultiplikation ist nur dann kommutativ, wenn beide Matrizen Diagonalmatrizen sind.

Wann ist eine Matrix Nilpotent?

Nilpotente Matrix Definition

Eine quadratische Matrix A ist nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl n größer oder gleich 1 gibt (also 2, 3, 4, 5 ...), für die gilt: Aⁿ = 0 (d.h. A potenziert mit n ergibt die Nullmatrix).

Wie Quadriere ich eine Matrix?

Generell können Sie zwei Matrizen miteinander multiplizieren, wenn die Spaltenanzahl der ersten mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmt. Da eine zu quadrierende Matrix mit sich selbst multipliziert wird, muss die Zeilenanzahl mit der Spaltenanzahl übereinstimmen.