Monotonieverhalten bestimmen?

1. Schritt 1: Berechne die ersten zwei Ableitungen und .
2. Schritt 2: Bestimme die Nullstellen von .
3. Schritt 3: Setze die Extremstellen in die zweite Ableitung ein, um die Art der Extrempunkte zu bestimmen.
4. Schritt 4: Interpretiere das Ergebnis. Ist , so hat die Funktion f an dieser Stelle einen Hochpunkt.

1. Eine Zahlenfolge (an) heißt genau dann monoton wachsend , wenn für alle n∈ℕ gilt: an + 1≥an bzw. an + 1−an≥0.
2. Eine Zahlenfolge (an) heißt genau dann monoton fallend , wenn für alle n∈ℕ gilt: an + 1≤an bzw. an + 1−an≤0.

Wann monoton und streng monoton?

Monoton fallend, wenn stets gilt: Aus x₁ < x₂ folgt f(x1) ≥ f(x₂). Die Funktion verläuft in diesem Abschnitt somit teils horizontal, teils fallend. Streng monoton fallend, wenn f(x₁) > f(x₂). In diesem Abschnitt fällt die Funktion durchgehend und verläuft niemals horizontal oder gar steigend.

Wie finde ich heraus ob eine Folge beschränkt ist?

Eine Folge ist dann beschränkt, wenn es ein endliches Intervall gibt, in dem alle der unendlich vielen Folgenglieder liegen.

Wie zeige ich dass eine Folge beschränkt ist?

Eine Folge ist nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl S gibt, so dass für alle n gilt an≤S . Eine Folge ist nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl s gibt, so dass für alle n gilt an≥s . Ist eine Folge nach oben und unten beschränkt, so heißt sie „beschränkt“.

Wie zeigt man dass eine Funktion beschränkt ist?

Eine Funktion, Zahlenfolge oder Reihe heißt beschränkt, wenn es einen Wert gibt, der größer oder kleiner als alle Funktionswerte bzw. Glieder der Folge oder Reihe ist (da man Folgen und Reihen auch als Funktionen mit Definitionsmenge D=N auffassen kann, wird im Folgenden nur von Funktionen die Rede sein).

Was ist mit x0 gemeint?

x₀ bezeichnet: die Nullstellen einer Funktion f, wo also. gilt.

In welchem Intervall ist f monoton steigend?

Die Funktionswerte der ersten Ableitung f'(x) im Intervall I₁ sind immer positiv, daher ist die Funktion f(x) streng monoton wachsend.

Was ist der Monotoniesatz?

Unter der Monotonie einer Funktion versteht man das Steigungsverhalten. Daraus ergibt sich eine bzw. mehrere Monotoniebedingungen einer Funktion. Mit dem Monotoniesatz gibt man die Bedingungen an wann eine Funktion (streng) monoton wächst oder (streng) monoton fällt.

Wann ist eine Funktion unbeschränkt?

Schematische Darstellung einer beschränkten (rot) und einer unbeschränkten Funktion (blau). Die Werte der beschränkten Funktion bleiben auf ihrem gesamten Definitionsbereich innerhalb der gestrichelten Linien. Die Werte der unbeschränkten Funktion gehen gegen unendlich.

Ist eine konstante Funktion beschränkt?

Der Satz von Liouville besagt, dass eine beschränkte, ganze Funktion konstant ist. Daraus folgt auch, dass eine elliptische Funktion ohne Polstelle konstant ist.

Wann ist eine Funktion nicht beschränkt?

Wenn alle möglichen y -Werte angenommen werden (alle reellen Zahlen ℝ ), dann hat die Funktion keine Beschränktheit.

Wann ist eine Folge nach unten beschränkt?

Folgen und Reihen III ZURÜCK

2,4,6,8,10,12, ... Das erste Glied dieser Folge die Zahl 2 ist. als 2 ist, denn die Glieder werden ja immer größer. Man sagt, die Folge ist nach unten beschränkt.

Ist eine beschränkte Folge konvergiert?

Jede beschränkte monotone Folge ist konvergent (monoton meint: monoton wachsend oder monoton fallend).

Wann ist eine Reihe beschränkt?

Beschränkt heißt, das die Reihe eine obere und eine untere Schranke hat. Für große k geht die Reihe gegen Null. Null ist eine Schranke der Reihe.

Wann ist eine Folge bestimmt divergent?

Bestimmte Divergenz/Konvergenz

Man sagt eine Folge (Funktion) divergiert bestimmt, wenn sie entweder den Grenzwert ∞ oder −∞ annimmt. Damit wird ausgedrückt, dass die Folge (Funktion) zwar divergiert (d.h. keinen endlichen Wert annimmt), man aber “weiß wohin sie läuft.”

Wann ist etwas streng monoton wachsend?

Definition: [Monotonie einer Funktion]

Eine reelle Funktion heißt streng monoton steigend (wachsend), wenn aus x1<x2 x 1 < x 2 stets folgt, dass f(x1)<f(x2) f ( x 1 ) < f ( x 2 ) gilt. Eine Funktion ist schwach monoton steigend, wenn aus x1<x2 x 1 < x 2 stets f(x1)≤f(x2) f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ) folgt.

Wann ist eine Teilmenge beschränkt?

definiert: Eine Teilmenge dieser Räume heißt beschränkt, wenn die Norm ihrer Elemente eine gemeinsame Schranke nicht überschreitet. Diese Definition ist unabhängig von der speziellen Norm, da alle Normen in endlichdimensionalen normierten Räumen zum gleichen Beschränktheitsbegriff führen.

Wann ist eine Funktion gerade oder ungerade?

Gerade und ungerade Funktionen sind in der Mathematik zwei Klassen von Funktionen, die bestimmte Symmetrieeigenschaften aufweisen: eine reelle Funktion ist genau dann gerade, wenn ihr Funktionsgraph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, und. ungerade, wenn ihr Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist.

Ist jede beschränkte Funktion stetig?

Satz 8.23. Jede stetige Funktion f : [a,b] → R ist beschränkt. Satz 8.25 (Satz vom Maximum und Minimum). Jede stetige Funktion f : [a,b] → R nimmt ein Maximum und Minimum an, d. h. die Menge M = f([a,b]) = {f(x) : x ∈ [a,b]} hat ein Maximum und Minimum.

Was gehört alles zu einer Kurvendiskussion?

Eine Kurvendiskussion ist die ausführliche Untersuchung einer Funktion. Dabei ermittelst du geometrische Eigenschaften des Graphen der Funktion, wie beispielsweise Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte und das Verhalten im Unendlichen. Anhand dieser Eigenschaften kannst du deinen Graphen dann ganz einfach zeichnen.

Warum ist der Monotoniesatz nicht umkehrbar?

Die Umkehrung würde lauten: Ist auf dem Intervall I differenzierbar und ist auf I streng monoton steigend, dann gilt dort für alle . Die Umkehrung ist nicht richtig, ein Gegenbeispiel genügt: . ist hinreichend für die Monotonie, aber nicht notwendig.