Untergruppe einer zyklischen gruppe ist zyklisch?
Gefragt von: Gabriele Hiller | Letzte Aktualisierung: 16. April 2022sternezahl: 5/5 (61 sternebewertungen)
Ist G eine zyklische Gruppe der Ordnung n und ist d ein Teiler von n, so besitzt G genau eine Untergruppe der Ordnung d und die ist zyklisch. Beweis: Wegen (2) besitzt G mindestens ein Element der Ordnung d (denn ϕ(d) ≥ 1); die von g erzeugte Untergruppe U ist natürlich zyklisch und hat die Ordnung d.
Sind alle endlichen Gruppen zyklisch?
Elementen. Allgemeiner ist jede endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers zyklisch.
Sind P Gruppen zyklisch?
Elementar abelsche Gruppe
Der Begriff wird meistens für endliche Gruppen gebraucht. Eine endliche Gruppe G ist genau dann elementar abelsch, wenn eine Primzahl p existiert, so dass G ein endliches (inneres) direktes Produkt von zyklischen Untergruppen der Ordnung p ist.
Sind zyklische Gruppen Kommutativ?
Alle zyklischen Gruppen sind kommutativ.
Was ist die Ordnung einer Gruppe?
Die Ordnung eines Elements a ∈ G ist ordG(a) := min{i ∈ N | ai = 1}. H ⊆ G heißt Untergruppe von G, falls H eine Gruppe ist. Wir bezeichnen mit 〈a〉 := {a,a2,a3,...,aordG(a)} die von a erzeugte Untergruppe. Die von einem Element a erzeugten Gruppen heißen zyklisch.
Gruppentheorie 19: Untergruppen zyklischer Gruppen
24 verwandte Fragen gefunden
Ist 0 eine Gruppe?
(Z\{0},·) ist keine Gruppe, da es zwar ein neutrales Element gibt, aber nicht immer ein inverses Element. Beispiel.
Was bedeutet Ordnung in Mathe?
mathematisch: Ordnung (algebraische Zahlentheorie), ein Ring algebraisch ganzer Zahlen. Anzahl der Punkte auf einer affinen Geraden einer Ebene, siehe Affine Ebene #Ordnung. Vielfachheit einer Nullstelle.
Wann ist eine Gruppe nicht zyklisch?
Die S3 ist, wie jede nichtkommutative Gruppe, nicht zyklisch. Die Kleinsche Vierergruppe ℤ2 × ℤ2 der Ordnung 4 ist Abelsch, aber nicht zyklisch: Es gilt 2a = 0 für alle a, sodass jedes Element a die Untergruppe { 0, a } von ℤ2 × ℤ2 erzeugt.
Sind die Gruppen Z2 Z2 und Z4 isomorph?
(iii) Nein. Man prüft zunächst, dass die Abbildung ϕ : Z2 × Z2 → V , die (1, 0) und (0, 1) auf die beiden Spiegelungen abbildet ein Isomorphismus ist. Die Frage ist also, ob Z2 × Z2 isomorph zu Z4 ist. Da beispielsweise Z4 ein Element der Ordnung 4 enhält aber Z2 × Z2 nicht, kann dies nicht der Fall sein.
Wann ist einheitengruppe zyklisch?
Die Einheitengruppe eines Körpers
also Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe vom Grad 2. ist zyklisch (s. Einheitswurzel).
Welche Gruppen sind zyklisch?
Zyklische Gruppen sind jene Gruppen, die von einem Element erzeugt werden, genauer: Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn es ein Element a ∈ G mit G = 〈a〉 gibt. Dabei ist 〈a〉 = {ak | k ∈ Z}. Zyklische Gruppen sind also endlich oder abzählbar unendlich.
Ist an zyklisch?
Jedes π ∈ Sn lässt sich als Produkt von (disjunkten) Zykeln schreiben: wähle i ∈ n. Man notiert den Zykel (i, π(i),π2(i), ..., πp(i)), dabei ist p die kleineste Zahl ≥ 0 mit πp+1(i) = i.
Wann ist etwas zyklisch?
Das Adjektiv zyklisch bedeutet „kreisförmig“ oder „wiederkehrend“. Zyklisch ist das Adjektiv zum Substantiv Zyklus, das seinen Ursprung im griechischen Wort kyklos für „Ring“ oder „Kreis“ hat.
Wann ist eine Gruppe einfach?
Definition. gefordert, wonach man knapper sagen kann: Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie genau zwei Normalteiler besitzt.
Wann ist eine Gruppe abelsch?
Eine Gruppe heißt abelsch (oder kommutativ), falls ab = ba für alle Elemente a,b gilt; in abelschen Gruppen schreibt man die Gruppenoperation meist als Addition. Eine Gruppe G heißt endlich erzeugt, wenn sie ein endliches Erzeugendensystem besitzt.
Ist z nz zyklisch?
Zu jeder natürlichen Zahl n kennen wir auch eine zyklische Gruppe mit n Elementen, nämlich ℤn = ℤ/nℤ. Und ℤ ist die klassische unendliche zyklische Gruppe: ℤ = (1). Wir werden in diesem Abschnitt die zyklischen Gruppen klassifizieren, alle ihre Untergruppen und auch alle ihre Automorphismen bestimmen.
Ist Z4 eine Gruppe?
Die Gruppe (Z4,+) ist zyklisch, hat also zu jedem der Teiler 1, 2 und 4 von 4 genau eine Untergruppe, und zwar U1 = {0}, U2 = {0,2} und U3 = Z4.
Sind die Gruppen Z2 Z3 und Z6 isomorph?
Nun sind zwei zyklische Gruppen gleicher Ordnung isomorph, womit Z2 × Z3 isomorph zu Z6 ist (vergleiche Satz 3(b) in § 3 der Vorlesung).
Wie viele endliche Untergruppen hat z?
Somit gibt es nur eine endliche Untergruppe.
Was bedeutet das Wort Ordnung?
Die Ordnung [lat. ordo – Reihe] meint die erste Form der Beziehung, Verhältnis zwischen Teilen eines Ganzen untereinander sowie zwischen Teilen und Ganzem. Sie ist auf der Grundlage von Regeln und Gesetzen (im philosophischen und juristischen Sinn) im Hinblick auf die Einheit der Teile gestaltet und festgelegt.
Was ist ein Körper in der Mathematik?
Als Körper bezeichnet man eine dreidimensionale Figur, die aus mehreren Flächen besteht, die aneinandergrenzen. Diese Flächen ergeben zusammen die Oberfläche des Körpers. Typische Beispiele sind Würfel, Quader, Zylinder oder auch Kegel.
Was bedeutet Ordnung bei Tieren?
Die Ordnung (lateinisch ordo) ist eine Rangstufe der biologischen Systematik. Sie dient zur Einteilung und Benennung der Lebewesen (Taxonomie). Bezüglich der Hauptstufen steht die Ordnung zwischen Klasse und Familie.
Wann ist etwas eine Gruppe?
In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei drei Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen ...
Sind die rationalen Zahlen eine Gruppe?
Die positiven rationalen Zahlen Q+ bilden eine Untergruppe, die natürlichen Zahlen N nicht, denn außer 1 besitzt keine natürliche Zahl ein inverses Element. Es gelten jedoch das Assoziativ- und das Kommutativgesetz. Man sagt, N sei eine kommutative Halbgruppe.
Warum ist n keine Gruppe?
Das Paar (N,+) ist keine Gruppe, da es in der Menge N nicht zu jedem Element ein inverses Element gibt. Die Paare (Q,+) und (Q \ {0},·) sind abelsche Gruppen. Es sei P die Menge der Polynome, dann ist das Paar (P,+) eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element ist die 0 und zu einem Polynom p(x) ist −p(x) das inverse.