Wann ist eine dgl eindeutig lösbar?
Gefragt von: Mehmet Reimer | Letzte Aktualisierung: 1. März 2022sternezahl: 4.2/5 (19 sternebewertungen)
Ist f : I × U → Rn stetig und erfüllt eine lokale Lipschitz-Bedingung in y, so ist das AWP zur Differentialgleichung y = f(t, y) lokal eindeutig lösbar. Falls f von der Klasse Ck in t (und y) ist, so ist die lokale Lösung ebenfalls eine Ck-Funktion (und ihre Abhängigkeit von den Anfangswerten ist Ck).
Wann ist eine Lösung beschränkt?
Wenn die Lösung beschränkt bleiben soll, dann muss Realteil jedes Eigenwertes nicht-positiv sein. Wenn der Realteil des Eigenwertes negativ ist, dann ist die Beschränktheit diese Komponente gegeben.
Wann ist eine DGL gewöhnlich?
Gewöhnlich oder partiell
Eine Differentialgleichung heißt gewöhnlich, falls in ihr nur Ableitungen nach einer Variablen vorkommen bzw. wenn die abgeleitete Funktion nur von einer Variablen abhängt (y(x)). Andernfalls heißt die Differentialgleichung partiell.
Wann ist eine DGL nicht linear?
Die gesuchte Funktion einer partiellen DGL hängt von mehreren Variablen ab und beinhaltet partielle Ableitungen. ... Falls die gesuchte Funktion oder eine ihrer Ableitungen in eine nicht-lineare Funktion (z.B. oder ) verstrickt ist, dann ist die DGL nicht-linear. Beispiel: ist also eine nicht-lineare DGL (erster Ordnung).
Was sagen Differentialgleichungen aus?
Durch gewöhnliche Differentialgleichungen lassen sich viele dynamische Systeme aus der Technik, Natur und Gesellschaft beschreiben. Viele auf den ersten Blick sehr verschiedene physikalische Probleme lassen sich mit der GDGL jedoch formal identisch darstellen.
Differenzialgleichungen - Teil 4 - Existenz und Eindeutigkeit einer DGL-Lösung (Anfangswertproblem)
24 verwandte Fragen gefunden
Was kann man alles mit Differentialgleichungen machen?
Eine Differentialgleichung (auch Differenzialgleichung, oft durch DGL, DG, DGl. oder Dgl. abgekürzt) ist eine mathematische Gleichung für eine gesuchte Funktion von einer oder mehreren Variablen, in der auch Ableitungen dieser Funktion vorkommen.
Was beschreibt eine DGL?
Differentialgleichungen sind Gleichungen, deren Lösungen keine Zahlen, sondern Funktionen sind. Sie beschreiben den Zusammenhang, der zwischen gesuchter Funktion und ihren Ableitungen herrschen soll. ... Es können also gewöhnliche Ableitungen der Funktion in dieser einen Variablen auftreten.
Was zeichnet eine lineare Differentialgleichung aus?
eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung für die Funktion y, die in y, y′, …, y(n)linear ist. y(n)+an−1(x)y(n−1)+⋯+a1(x)y′+a0(x)y=b(x). b heißt Inhomogenität der Differentialgleichung.
Was bedeutet linear und nichtlinear?
Bei Erregung linearer Systeme mit einem Sinus-Signal erhält man am Ausgang wiederum ein sinusförmiges Signal derselben Frequenz, jedoch mit veränderter Phasenlage und Amplitude. ... Nichtlineare Systeme können an ihrem Systemausgang Frequenzanteile aufweisen, welche im Eingangssignal nicht enthalten sind (Verzerrung).
Was heißt linear homogen?
Definition einer Linearen homogenen Funktion: ... Eine Gleichung der Form y = k * x (k und k ≠ 0) heißt homogene lineare Gleichung. Liegt eine lineare homogene Funktion vor, besteht zwischen den x- und y-Werten ein direktes Verhältnis.
Wann ist eine DGL Zeitinvariant?
Wird ein System mit einer linearen Differentialgleichung beschrieben, die konstante Koeffizienten aufweist, ist das Systemverhalten von der Zeit unabhängig, und das System ist zeitinvariant. ... Auch die Zeitinvarianz ist eine Eigenschaft, die oft nur näherungsweise erfüllt ist.
Was beschreibt die partikuläre Lösung?
Daraus folgt, dass durchaus verschiedene Funktionen die gleiche DGL befriedigen können. Solche Funktionen werden partikuläre oder spezielle Lösungen genannt. ... Jede homogene DGL n. Ordnung hat auch n partikuläre Lösungen.
Was ist eine Differentialgleichung Physik?
Differentialgleichung, mathematische Gleichung, die Ableitungen einer unbekannten Funktion y enthält. Differentialgleichungen spielen in der Physik eine überragende Rolle, da physikalische Gesetze und Zusammenhänge sich häufig als Differentialgleichung darstellen lassen.
Was ist die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung?
Die allgemeine Lösung einer exakten Differentialgleichung ist F(x, y) = C , C ∈ R . . . const. Dabei ist F eine Stammfunktion. Es sei weiters erwähnt, dass sich zwei Stammfunktionen zu P dx + Qdy = 0 nur durch eine additive Konstante unterscheiden.
Was ist eine homogene Differentialgleichung?
Unterschied homogene und inhomogene Differentialgleichung
Die rechte Seite der Differentialgleichung ist die Inhomogenität. Sie wird auch Störfunktion genannt. Wenn b(x) = 0 ist, heißt die Differentialgleichung homogen. Ansonsten wird sie als inhomogen bezeichnet.
Wann wendet man Variation der Konstanten an?
Die Variation der Konstanten ist eine Methode, die beim Lösen von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung benutzt wird. Dann liefert die Variation der Konstanten die allgemeine Lösung der DGL. ...
Was ist linear in Mathe?
Linearen Funktionen: Definition
Lineare Funktionen beschreiben immer ein lineares Verhältnis, bzw. eine lineare Zuordnung zwischen zwei Variablen. Daher sind ihre Graphen eine gerade Linie im Koordinatensystem.
Was heißt linear auf Deutsch?
li·ne·ar, Komparativ: li·ne·a·rer, Superlativ: am li·ne·ars·ten. Bedeutungen: [1] in Form einer Linie verlaufend. [2] in einer Richtung stetig verlaufend, ohne Abschweifung.
Was bedeutet lineares Verhalten?
Linearität ist die Eigenschaft eines Systems, auf die Veränderung eines Parameters stets mit einer dazu proportionalen Änderung eines anderen Parameters zu reagieren. ... Dann werden die linearen Funktionen auf den Spezialfall der Proportionalität eingeschränkt.
Was ist homogen und inhomogen?
Was nicht homogen ist, wird inhomogen oder aber heterogen genannt. Zwischen diesen beiden Begriffen ist meist zu unterscheiden, der Wortgebrauch ist etwas schwankend. Ein Körper aus einheitlichem Material, aber mit von Ort zu Ort schwankender Dichte wird beispielsweise als inhomogen bezeichnet.
Was genau ist eine Differentialgleichung?
Eine Differentialgleichung (kurz Diff. 'gleichung oder DGL) ist eine Gleichung, in der eine Funktion und auch Ableitungen von dieser Funktion auftauchen können. Die Lösung dieser Art von Gleichung ist eine Funktion – keine Zahl!
Wie funktioniert die differentialrechnung?
Die Differentialrechnung ist ein mathematisches Themengebiet aus dem Bereich der Analysis und beschäftigt sich mit den Änderungsraten von Funktionen. Im Mittelpunkt steht dabei die Ableitung . Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle entspricht geometrisch gesehen der dortigen Tangentensteigung.
Was bedeutet DT in der Mathematik?
Ist f eine an der Stelle x0 differenzierbare Funktion mit f(x) = y, dann ist das Differenzial dy = f'(x0) · dx mit dx = x - x0. Das Differenzial gibt näherungsweise an, wie sich der Funktionswert y an der Stelle x0 ändert, wenn sich x0 um dx ändert.
Was ist die wellengleichung?
Das t-y-Diagramm eines von der Welle erfassten Teilchens ist ebenfalls eine Sinuslinie. Die einzelnen Sinusschwingungen der von der Welle erfassten Teilchen besitzen eine Phasenverschiebung Δφ=ω⋅Δt. Die Phasenverschiebung hängt davon ab wie weit das betrachtete Teilchen vom ersten Teilchen der Kette entfernt ist.
Was ist die Schwingungsgleichung?
Mit der Schwingungsgleichung können wir bei bekannter Schwingungsdauer oder Frequenz sowie für eine bekannte Amplitude die Auslenkung eines harmonischen Oszillators zu jedem Zeitpunkt t berechnen.