Warum ist die betragsfunktion in 0 nicht differenzierbar?

Gefragt von: Nancy Knoll | Letzte Aktualisierung: 11. Juli 2021

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Die Betragsfunktion ist zwar stetig, aber nicht allgemein differenzierbar, weil sie an der Stelle x0=0 nicht differenzierbar ist. Dies kann man mit dem Differenzenquotienten zeigen.

Welche Funktionen sind nicht differenzierbar?

Lexikon der Mathematik Nicht-Differenzierbarkeit. liegt bei einer Funktion f:D→R an einer inneren Stelle a∈D⊂R vor, wenn der Differenzenquotient Q_f (a, x) für D∍x→a in R nicht konvergiert. ... für x → 0 nicht konvergiert, ist f nicht differenzierbar an der Stelle 0 (Abbildung 1).

Kann eine unstetige Funktion differenzierbar sein?

Da jede differenzierbare Funktion stetig ist, ist umgekehrt jede unstetige Funktion (zum Beispiel eine Treppenfunktion oder die Dirichlet-Funktion) ein Beispiel für eine nicht differenzierbare Funktion. Es gibt aber auch Funktionen, die zwar stetig sind, aber nicht oder nicht überall differenzierbar.

Was bedeutet es wenn eine Funktion differenzierbar ist?

Differenzierbarkeit einer Funktion bedeutet, dass der Graph der Funktion an jeder Stelle eine eindeutig bestimmbare Tangente besitzt.

Wann ist eine Funktion stetig aber nicht differenzierbar?

In der Mathematik bezeichnet man als Weierstraß-Funktion ein pathologisches Beispiel einer reellwertigen Funktion einer reellen Variablen. Diese Funktion hat die Eigenschaft, dass sie überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist. Sie ist nach ihrem Entdecker Karl Weierstraß benannt.

Betragsfunktion ist stetig, aber nicht differenzierbar in x=0 | Beweis (Analysis)

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Wie kann man zeigen dass eine Funktion stetig ist?

Eine Funktion ist stetig, wenn der Graph der Funktion im Definitionsbereich nahtlos gezeichnet werden kann. Anders ausgedrückt: Der Graph muss in jedem zusammenhängenden Teilintervall aus dem Definitionsbereich nahtlos gezeichnet werden können.

In welchen Punkten ist die Funktion differenzierbar?

Die Funktion F ist im Punkt x = 0 differenzierbar. Stetigkeit ist nicht Voraussetzung für die Differenzierbarkeit sondern folgt aus dieser, nämlich aus der geforderten Existenz und Gleichheit der links- und rechtsseitigen Grenzwerte.

Wann ist eine Funktion stetig differenzierbar?

Eine Funktion ist stetig differenzierbar, wenn sie differenzierbar ist und ihre ->Ableitungsfunktion stetig ist. Beispiel: Die Funktion f mit f(x) = 2x³+5x²+10 besitzt die stetige Ableitung f' mit f'(x) = 6x²+10x.

Wie oft ist die Funktion differenzierbar?

Eine glatte Funktion ist eine mathematische Funktion, die unendlich oft differenzierbar (insbesondere stetig) ist.

Was ist eine dreimal differenzierbare Funktion?

Lexikon der Mathematik dreimal stetig differenzierbare Kurve

eine stetig differenzierbare Kurve α(t) derart, daß neben α′(t) auch die Ableitungen α″(t) und α‴(t) existieren und stetig sind.

Wann hat eine Funktion einen Knick?

Man kann die Differenzierbarkeit einer stetigen Funktion auch daran erkennen, dass ihr Funktionsgraph keinen „Knick“ aufweist: Ein Knick ist eine Stelle, an welcher die Steigung, also die erste Ableitung des Funktionsgraphen links und rechts unterschiedliche Werte aufweist.

Welcher Zusammenhang besteht zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit einer Funktion?

Es zeigt sich, dass aus der Differenzierbarkeit einer Funktion ihre Stetigkeit folgt, umgekehrt muss jedoch eine stetige Funktion nicht differenzierbar sein.

Wann ist eine Abbildung differenzierbar?

Differenzierbarkeit einer Abbildung.

Sei f W X ! W eine stetige Abbildung. als Richtungsableitung von f in x0 in Richtung v 2 V bezeichnet. ... W heißt differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt x0 2 X differenzierbar ist.

Wann ist f x differenzierbar?

Die Funktion f heißt in I differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt von I differenzierbar ist. Die Funktion y'=f'(x) die jedem x0∈Ι die Ableitung f'(x) zugeordnet, heißt (erste) Ableitung von f.

Ist f x )= 0 differenzierbar?

f(x) ≥ f(x0)). f hat in dem inneren Punkt x0 ∈ S0 ein relatives (lokales) Maximum (bzw. ... 10.13 Satz: Es sei S ⊂ R;f : S → R im Punkt x0 ∈ S0 differenzierbar. Hat die Funktion f im Punkt x0 ein relatives Extremum, dann gilt f (x0)=0.

Ist eine gerade differenzierbar?

Stetigkeit und Differenzierbarkeit Eine Gerade mit unendlicher Steigung. ... In der letzten Lektion haben wir bereits erfahren, dass eine Funktion f(x) an der Stelle x₀ nur dann differenzierbar ist, wenn sie an dieser Stelle eine eindeutig bestimmte Tangente mit endlicher Steigung hat.

Was ist die h Methode?

Die h-Methode ist ein Verfahren zur Herleitung von Ableitungsfunktionen. f(x+h) f ( x + h ) bedeutet, dass man in die Funktion f(x) an Stelle von x einfach x+h einsetzen muss. Ist beispielsweise f(x)=x2 f ( x ) = x 2 gegeben, dann gilt: f(x+h)=(x+h)2 f ( x + h ) = ( x + h ) 2 .

Für welchen Wert ist die Funktion stetig?

Eine reelle Funktion ist stetig, wenn hinreichend kleine Änderungen des Arguments zu beliebig kleinen Änderungen des Funktionswerts führen. Intuitiv bedeutet das, dass der Graph eine zusammenhängende Linie ist.