Was ist ein eigenvektor?
Gefragt von: Eugenie Förster | Letzte Aktualisierung: 19. Dezember 2020sternezahl: 4.7/5 (31 sternebewertungen)
Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur skaliert und man bezeichnet den Skalierungsfaktor als Eigenwert der Abbildung.
Was sagt der eigenvektor aus?
Ein Eigenvektor wird also nur gestreckt, und man bezeichnet den Streckungsfaktor als Eigenwert der Abbildung. Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht.
Kann ein Eigenwert einen eigenvektor haben?
Ein Eigenwert hat unendlich viele zugehörige Eigenvektoren, während ein Eigenvektor immer nur zu einem Eigenwert gehören kann.
Was ist der Eigenwert einer Matrix?
Eigenwerte einfach erklärt
Für quadratische Matrizen gibt es bestimmte Vektoren, die man an die Matrix multiplizieren kann, sodass man den selben Vektor als Ergebnis erhält, nur mit einem Vorfaktor multipliziert. Einen solchen Vektor nennt man Eigenvektor und der Vorfaktor heißt Eigenwert einer Matrix.
Ist ein Vektor ein eigenvektor?
Ein Eigenvektor einer Matrix ist ein Vektor, den man von rechts an die Matrix multiplizieren kann und als Ergebnis einen Vektor erhält, der in die selbe Richtung zeigt.
Eigenwerte, Eigenvektoren in Kürze | Mathe by Daniel Jung
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Kann der eigenvektor Null sein?
Der Nullvektor ist Eigenvektor zu jedem Eigenwert. Aber, damit ein Eigenwert wirklich ein Eigenwert ist, muss es einen Vektor geben, der ungleich dem Nullvektor ist. Dieser Vektor muss erfüllen. ... Wert und jede lineare Abbildung die Eigenwert/vektorgleichung , das macht ihn aber nicht zu einem Eigenvektor.
Wie berechnet man eigenwerte?
- Wir multiplizieren eine Matrix A mit einem Vektor →x und erhalten als Ergebnis das λ -fache vom Vektor →x .
- Dabei ist →x der Eigenvektor und λ der Eigenwert der Matrix A .
- Diese Gleichung heißt "charakteristisches Polynom" und ist in diesem Fall eine quadratische Gleichung (λ ist die Unbekannte).
Wie Diagonalisiert man eine Matrix?
- Berechne das charakteristische Polynom der Matrix.
- Berechne die Nullstellen des charakteristischen Polynoms (= Eigenwerte). ...
- Bestimme die Eigenräume und ihre Dimensionen. ...
- Stelle die Diagonalmatrix auf - dabei sind die Einträge der Hauptdiagonale gleich der berechneten Eigenwerte der Matrix.
Wann sind Eigenwerte reell?
Es gilt: Alle Eigenwerte einer symmetrischen oder hermiteschen Matrix sind reell. Eine reelle Matrix A heißt orthogonal, wenn gilt: AAT = E d. h. AT = A−1 , wobei E die Einheitsmatrix darstellt. Eine komplexwertige Matrix A heißt unitär, wenn gilt: AA† = E d. h. A† = A−1 .
Kann eine Matrix keine Eigenwerte haben?
Es gibt reelle Matrizen, die keine reellen Eigenwerte besitzen. Zum Beispiel haben Drehungen (der Ebene R², ...) um 0 im allgemeinen keine Eigenvektoren, also auch keine Eigenwerte.
Wann ist die Matrix invertierbar?
Eine Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn gilt: det(A)≠0 det ( A ) ≠ 0 . Merke: Zu Matrizen, in denen Zeilen oder Spalten linear abhängig sind, deren Determinante also 0 beträgt, gibt es keine inverse Matrix.
Wann existiert eine Basis aus Eigenvektoren?
(ii) Es existiert eine Basis aus Eigenvektoren von A, wenn die geometrische Vielfach- heit jedes Eigenwerts gleich seiner algebraischen Vielfachheit ist. Beispiel 6.17. Definition 6.18. Eine Matrix A ∈ Cn×n heißt hermitesch, wenn ¯A = A (d.h. aij = ¯aji für i = j) ist.
Sind eigenvektoren immer orthogonal zueinander?
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind bei symmetrischen Matrizen stets orthogonal.
Was ist ein Singulärwert?
Eine Singulärwertzerlegung (Abk.: SWZ oder SVD für Singular Value Decomposition) einer Matrix bezeichnet deren Darstellung als Produkt dreier spezieller Matrizen. Daraus kann man die Singulärwerte der Matrix ablesen. Diese charakterisieren, ähnlich den Eigenwerten, Eigenschaften der Matrix.
Was bedeutet Diagonalisierbar?
Als diagonalisierbare Matrix bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine quadratische Matrix, die ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist. Sie lässt sich mittels eines Basiswechsels (also der Konjugation mit einer regulären Matrix) in eine Diagonalmatrix transformieren.
Was ist die algebraische Vielfachheit?
so sieht man, dass die 4 gleich von drei Faktoren jeweils die Nullstelle ist: man sagt 4 ist eine dreifache Nullstelle. Wenn es sich bei unserem Beispiel um das charakteristische Polynom handelt, sind die Lambdas die Eigenwerte.
Wann ist eine Matrix symmetrisch?
Eine symmetrische Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, deren Einträge spiegelsymmetrisch bezüglich der Hauptdiagonale sind. Eine symmetrische Matrix stimmt demnach mit ihrer transponierten Matrix überein.
Sind eigenvektoren eindeutig?
Eigenvektoren sind eindeutig bestimmt, bis auf die Multiplikation mit einem Skalar. Das heißt: Wenn x ein Eigenvektor und a ein Skalar ist, dann ist auch a * x ein Eigenvektor.
Wie transponiert man eine Matrix?
Jede beliebige Matrix lässt sich transponieren. Was ist eine transponierte Matrix? Die transponierte Matrix AT erhält man durch Vertauschen der Zeilen und Spalten der Matrix A .
Wann ist eine Matrix Unitär?
Eine Matrix heißt unitär, wenn gilt: AAH=I (1) wobei gilt AH=ĀT (dh. dem komplex kojugierten Transponierten entspricht). Eine lineare Abbildung aus einem unitären Raum in sich selbst ist unitär, wenn ihre Matrix, bezüglich einer orthogonalen Basis, unitär ist.