Was ist ein eigenwert einer matrix?

Gefragt von: Armin Rauch  |  Letzte Aktualisierung: 4. Juni 2021
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Definition Eigenwert und Eigenvektor
Ein Eigenvektor →x einer Matrix ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch Multiplikation mit der Matrix nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur gestreckt. Der Streckungsfaktor λ heißt Eigenwert der Matrix.

Wie berechnet man den Eigenwert einer Matrix?

Eigenwerte berechnen
  1. Wir multiplizieren eine Matrix A mit einem Vektor →x und erhalten als Ergebnis das λ -fache vom Vektor →x .
  2. Dabei ist →x der Eigenvektor und λ der Eigenwert der Matrix A .
  3. Diese Gleichung heißt "charakteristisches Polynom" und ist in diesem Fall eine quadratische Gleichung (λ ist die Unbekannte).

Wann hat eine Matrix nur einen Eigenwert?

Eigenwerte einfach erklärt

Für quadratische Matrizen gibt es bestimmte Vektoren, die man an die Matrix multiplizieren kann, sodass man den selben Vektor als Ergebnis erhält, nur mit einem Vorfaktor multipliziert. Einen solchen Vektor nennt man Eigenvektor und der Vorfaktor heißt Eigenwert einer Matrix.

Was sagen die Eigenwerte aus?

Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht. In vielen Anwendungen beschreiben Eigenwerte auch physikalische Eigenschaften eines mathematischen Modells.

Was gibt ein eigenvektor an?

Ein Eigenvektor einer Matrix ist ein Vektor, den man von rechts an die Matrix multiplizieren kann und als Ergebnis einen Vektor erhält, der in die selbe Richtung zeigt.

Eigenwerte, Eigenvektoren in Kürze | Mathe by Daniel Jung

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Kann der Eigenwert 0 sein?

Jeder Vektor , der durch auf den Nullvektor abgebildet wird, gehört zum Kern von : Der Kern von A ist ein Unterraum von . Jeder Vektor in ist ein Eigenvektor zum Eigenwert Null. Eine Matrix ist genau dann singulär, wenn mindestens ein Eigenwert Null ist.

Was ist ein normierter Eigenvektor?

Definition [Eigenvektor] Der Vektor x−λ , der zu einem Eigenwert λ das Eigenwertproblem löst, heißt Eigenvektor. Der Eigenvektor x−λ ist definiert durch: A⋅x−λ=λx−λbzw. ... Eigenvektoren werden in der Regel auf die Länge 1 normiert.

Was ist eine Eigenwertgleichung?

Lexikon der Mathematik Eigenwertgleichung

Gleichung, mit deren Hilfe Eigenwerte bestimmt werden. Ist A eine (n × n)-Matrix, so werden die Eigenwerte von A durch die Gleichung Ax = λx beschrieben.

Kann ein endomorphismus unendlich viele Eigenwerte haben?

Ein Endomorphismus eines Vektorraums mit n = dim V hat also höchstens n Eigenwerte und in den obigen Beispielen hat sich gezeigt, dass diese verschiedenen Anzahlen auch 201 Page 6 10 Eigenwerte tatsächlich realisiert werden können.

Wie viele Eigenwerte gibt es?

Prinzipiell hat eine Matrix soviele Eigenwerte wie sie Zeilen/Spalten hat (Eigenwerte gibt es nur bei quadratischen Matrizen). Dabei kann es auch vorkommen, dass ein Eigenwert mehrfach auftritt. die Nullstelle 1 hat.

Wann hat eine Matrix einen eigenvektor?

Ein Eigenvektor →x einer Matrix ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch Multiplikation mit der Matrix nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur gestreckt. Der Streckungsfaktor λ heißt Eigenwert der Matrix.

Hat eine Matrix immer eigenwerte?

Nicht alle Matrizen haben reelle Eigenwerte und Eigenvektoren. Eine Fall einer nicht-symmetrischen Matrix gilt folgendes: Falls n gerade ist, ist es moglich, dafi keine reellen Eigenwerte fiir eine gegebene nxn Matrix existieren.

Wann ist eine Matrix Diagonalisierbar?

Ist eine Matrix diagonalisierbar, so ist die geometrische Vielfachheit ihrer Eigenwerte gleich der jeweiligen algebraischen Vielfachheit. Das bedeutet, die Dimension der einzelnen Eigenräume stimmt jeweils mit der algebraischen Vielfachheit der entsprechenden Eigenwerte im charakteristischen Polynom der Matrix überein.

Wie bestimmt man das charakteristische Polynom?

Das charakteristische Polynom einer Abbildungsmatrix A ist der Wert folgender Determinanten: det(λ⋅En−A) d e t ( λ ⋅ E n − A ) , wobei En die Einheitsmatrix ist.

Was sagt die Determinante über eine Matrix aus?

Die Determinante einer Matrix ( oder ) gibt an, wie sich das Volumen einer aus Eckpunkten zusammengesetzten Geometrie skaliert, wenn diese durch die Matrix abgebildet wird. Ist die Determinante negativ, so ändert sich zusätzlich die Orientierung der Eckpunkte.

Wie berechnet man die Determinante aus?

Seien A und B zwei n×n Matrizen und α eine reelle Zahl, dann gilt:
  1. det(α · A) = αn · det(A)
  2. det(AT) = det(A)
  3. wenn A eine Zeile oder eine Spalte bestehend aus 0 hat, dann ist det(A) = 0.
  4. wenn A zwei gleiche Zeilen oder Spalten hat, dann gilt det(A) = 0.

Wann ist ein Operator eine observable?

"Observable" ist in der Physik, insbesondere in der Quantenphysik, der formale Name für eine Messgröße, bzw. für eine spezielle Klasse von Operatoren, die in einem abstrakten Hilbert-Raum, meist physikalscher Hilbert-Raum genannt, wirken.

Wann ist eine Funktion eine Eigenfunktion des Operators?

dem Einfluss des Operators in ihrer Form nicht ändern, außer dass sie mit einem konstanten Faktor o multipliziert werden. Solche Funktionen nennt man Eigenfunktionen .

Wann sind die Eigenwerte reell?

Es gilt: Alle Eigenwerte einer symmetrischen oder hermiteschen Matrix sind reell. Eine reelle Matrix A heißt orthogonal, wenn gilt: AAT = E d. h. AT = A−1 , wobei E die Einheitsmatrix darstellt.