Was ist ein homomorphismus?

Gefragt von: Frau Prof. Svetlana Scharf | Letzte Aktualisierung: 8. April 2021

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Als Homomorphismus werden in der Mathematik Abbildungen bezeichnet, die eine mathematische Struktur erhalten bzw. damit verträglich sind.

Was ist ein Gruppenhomomorphismus?

Ein Gruppenhomomorphismus ist eine Abbildung zwischen zwei Gruppen, die mit diesen verträglich ist, und damit ein spezieller Homomorphismus.

Was ist ein endomorphismus?

In der Kategorientheorie heißt jeder Morphismus, dessen Quelle und Ziel übereinstimmen, ein Endomorphismus des fraglichen Objektes. bezeichnet und bildet stets ein Monoid (das Endomorphismenmonoid oder die Endomorphismenhalbgruppe), in additiven Kategorien sogar einen (unitären) Ring, den Endomorphismenring.

Wann ist ein Homomorphismus injektiv?

Der Homomorphismus f : G -> G' ist genau dann injektiv, wenn ker(f) = {e} für das Einselement e von (G,*) gilt.

Wann ist eine Gruppe isomorph?

Gruppen, zwischen denen ein solcher Gruppenisomorphismus existiert, nennt man isomorph zueinander: sie unterscheiden sich nur in der Bezeichnung ihrer Elemente und stimmen für fast alle Zwecke überein. Es lässt sich leicht zeigen, dass die Isomorphie von Gruppen eine Äquivalenzrelation bildet.

LINEARE ABBILDUNG / Homomorphismus einfach erklärt! | Math Intuition

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Wann ist ein endomorphismus Diagonalisierbar?

Definition Der Endomorphismus ϕ ist diagonalisierbar, falls eine Basis B von V existiert, so dass die Abbildungsmatrix von ϕ bzgl. der Basis B eine Diagonalmatrix ist.

Was macht die Darstellungsmatrix?

Eine Abbildungs- oder Darstellungsmatrix ist eine Matrix (also eine rechteckige Anordnung von Zahlen), die in der linearen Algebra verwendet wird, um eine lineare Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen zu beschreiben.

Was ist der Kern einer linearen Abbildung?

ker f := f⁻¹(0) = {v∈V | f(v) = 0}. der Kern deiner Abbildung ist die Menge aller Elemente von V {\displaystyle V} V, die auf das neutrale Element 0 W {\displaystyle 0_{W}} 0 des Vektorraums W {\displaystyle W} W abgebildet werden.

Was ist isomorph?

In der Mathematik ist ein Isomorphismus (von altgriechisch ἴσος (ísos) – „gleich“ und μορφή (morphḗ) – „Form“, „Gestalt“) eine Abbildung zwischen zwei mathematischen Strukturen, durch die Teile einer Struktur auf bedeutungsgleiche Teile einer anderen Struktur umkehrbar eindeutig (bijektiv) abgebildet werden.

Wann ist eine Abbildung Diagonalisierbar?

Definition. Eine lineare Abbildung ϕ: V → V heißt diagonalisierbar, wenn es eine Basis B von V gibt derart, dass M(ϕ;B,B) eine Diagonalmatrix ist.

Wann ist eine Matrix nicht Diagonalisierbar?

Matrix diagonalisieren: Voraussetzungen

Besitzt das charakteristische Polynom einer n×n n × n -Matrix weniger als n Nullstellen, so ist die Matrix nicht diagonalisierbar. ... Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes entspricht der Vielfachheit der Nullstelle im charakteristischen Polynom.

Ist jede invertierbare Matrix Diagonalisierbar?

(a) Jede invertierbare Matrix ist diagonalisierbar. ... Eine Matrix ist invertierbar, wenn sie Determinante = 0 hat. Besitzt jedoch eine Matrix den Eigenwert 0, dann muss ihre Determinante = 0 und somit die Matrix singulär sein.

Was ist eine transformationsmatrix?

Der Basiswechsel kann durch eine Matrix beschrieben werden, die Basiswechselmatrix, Transformationsmatrix oder Übergangsmatrix genannt wird. ... Mit dieser lassen sich auch die Koordinaten bezüglich der neuen Basis ausrechnen.

Was ist ein Basiswechsel?

Basiswechsel steht für: Basiswechsel (Vektorraum), Übergang zwischen zwei verschiedenen Basen eines endlichdimensionalen Vektorraums. Basiswechsel (Faserprodukt), Übergang zu einem anderen Basisraum in einer relativen geometrischen Situation.

Wann ist eine Matrix linear?

Die Matrix als lineare Abbildung

Matrizen als lineare Abbildungen: Weisen wir nach, dass jede (n×m)-Matrix A eine lineare Abbildung von Rm nach Rn ist. f:Rm→Rnx↦Ax. damit haben wir die Linearität gezeigt! Es gilt also, wie wir gerade bewiesen haben, dass jede Matrix als lineare Abbildung aufgefasst werden kann.

Wann existiert eine Basis aus Eigenvektoren?

(ii) Es existiert eine Basis aus Eigenvektoren von A, wenn die geometrische Vielfach- heit jedes Eigenwerts gleich seiner algebraischen Vielfachheit ist. Beispiel 6.17. Definition 6.18. Eine Matrix A ∈ Cn×n heißt hermitesch, wenn ¯A = A (d.h. aij = ¯aji für i = j) ist.

Wann ist Matrix Trigonalisierbar?

2) Eine n × n Matrix A heißt trigonalisierbar, wenn F : Kn → Kn , F(x) = Ax , trigonalisierbar ist (d.h. A ist ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix) . Folgerung. Sei V ein endlich-dimensionaler C-Vektorraum und sei F : V → V linear. Dann ist F trigonalisierbar.

Was versteht man unter einem Eigenwert?

Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur skaliert und man bezeichnet den Skalierungsfaktor als Eigenwert der Abbildung.