Was ist ein metrischer raum?

Gefragt von: Frau Prof. Dr. Sylke Riedl  |  Letzte Aktualisierung: 20. Mai 2021
sternezahl: 4.6/5 (50 sternebewertungen)

Eine Metrik ist in der Mathematik eine Funktion, die je zwei Elementen der Menge einen nichtnegativen reellen Wert zuordnet. Dieser Wert wird als Abstand der beiden Punkte voneinander bezeichnet. Unter einem metrischen Raum versteht man eine Menge, auf der eine Metrik definiert ist.

Ist ein metrischer Raum immer ein vektorraum?

Ein normierter Vektorraum wird stets als metrischer Raum betrachtet bezüglich der in Lemma 1 gegebenen Metrik.

Ist jeder metrische Raum ein topologischer Raum?

Der Begriff „topologischer Raum“ verallgemeinert den Begriff „metrischer Raum“: Jeder metrische Raum ist ein topologischer Raum mit der Topologie, die durch die Metrik induziert wird (siehe dazu Umgebung). ... Ein vollständiger metrischer Raum ist ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert.

Was ist die Standardmetrik?

Die Allgemeinheit der Ergebnissse gestattet vielfältige Anwendungen auf konkrete Fälle. ∆-Ungleichung). 0 = d(x, x) ≤ d(x, y) + d(y, x)=2d(x, y), also d(x, y) ≥ 0. d wird Standardmetrik genannt.

Sind metrische Räume offen?

Ist X ein beliebiger metrischer Raum, so können wir X selbst als eine Teilmenge von X betrachten. Die Menge X ist dann offen, denn ist x ∈ X ein beliebiger Punkt, so ist zum Beispiel U1(x) ⊆ X und x ist innerer Punkt von X. ... Die rechte Halbebene M := {(x, y) ∈ R2|x > 0} ist offen in X = R2 mit der euklidischen Metrik.

Metrischer Raum

29 verwandte Fragen gefunden

Ist R eine offene Menge?

Auch sein Komplement ist weder offen noch abgeschlossen. Allerdings können Mengen auch gleichzeitig offen und abgeschlossen sein. Das bekannteste Beispiel ist die Menge der Reellen Zahlen R und sein Komplement in R, die leere Menge ( ∅ ).

Ist eine punktmenge offen?

Eine Punktmenge M ⊆ R n M\subseteq \Rn M⊆Rn heißt offen, wenn jeder ihrer Punkte ein innerer Punkt ist. ... Ein Punkt x heißt Randpunkt von M ⊆ R n M\subseteq \Rn M⊆Rn, wenn jede Umgebung um x Punkte aus M und aus R n ∖ M \Rn\setminus M Rn∖M enthält.

Was versteht man unter Metrik?

Metrik steht für: in der Literatur die rhythmische Bestimmung von Texten, siehe Verslehre. in der Musik die Lehre von der Bewertung der Töne, siehe Metrum (Musik)

Wann ist ein metrischer Raum vollständig?

Ein metrischer Raum heißt nun vollständig, wenn in ihm jede Cauchy-Folge konvergiert. Zwar ist eine konvergente Folge stets eine Cauchy-Folge, aber die umgekehrte Richtung muss nicht notwendigerweise wahr sein.

Ist R n ein metrischer Raum?

Ein wichtiges Beispiel topologischer Räume stellen ℝ n und ℂ n dar. Da ( ℝ n , d ∥ ⋅ ∥ ) und ( ℂ n , d ∥ ⋅ ∥ ) metrische Räume sind, so wird jeweils eine entsprechende topologische Struktur induziert. Die Umgebungen in diesen Topologien sind die offenen Mengen in ℝ n und ℂ n .

Ist die leere Menge offen oder abgeschlossen?

In jedem topologischen Raum sind die leere Menge und der ganze Raum abgeschlossen und offen. In einem zusammenhängenden topologischen Raum sind dies die einzigen Teilmengen, die abgeschlossen und offen sind.

Was versteht man unter einem Metrum?

Metrum (Mehrzahl „Metren“ oder „Metra“, von griechisch μέτρον métron ‚Maß, Maßstab; Silbenmaß, Versmaß') bezeichnet: in der antiken Verslehre eine Gruppe von mindestens zwei Verselementen, aus deren geregelter Abfolge das Versmaß besteht, siehe Metron.

Was ist das Metrum in der Musik?

Während der Rhythmus den vitalen Bewegungsverlauf der Musik phantasievoll modifiziert, ist das Metrum an die Formbildungen von Figur, Motiv, Phrase usw. ... gebunden, welche das ideelle Sinn- oder Bedeutungsgefüge eines Musikstücks darstellen.

Was bedeutet Metrik bei Netzwerk?

Im Netzwerkbereich definiert die Metrik ein numerisches Maß für die Güte einer Verbindung bei Verwendung einer bestimmten Route. ... Existieren mehrere mögliche Routen zum Ziel, kann durch die Metrik bestimmt werden, welche dieser Routen für die Verbindung verwendet wird.

Wann ist eine Menge offen?

Anschaulich ist eine Menge offen, wenn ihre Elemente nur von Elementen dieser Menge umgeben sind, mit anderen Worten, wenn kein Element der Menge auf ihrem Rand liegt.

Sind Einelementige Mengen offen?

Insbesondere sind einelementige Mengen nicht offen. liegt, was nach Definition eine Basismenge der Topologie darstellt.

Ist die Menge der natürlichen Zahlen offen?

In der Standardtopologie von sind die offenen(sic!) Intervalle offen, die abzählbare Vereinigung aller dieser offenen Intervalle zwischen zwei benachbarten natürlichen Zahlen, sowie , d.h. damit ebenfalls offen. Das Komplement dieser Menge sind die natürlichen Zahlen, deren Menge damit abgeschlossen ist.

Warum ist R offen und abgeschlossen?

Ist R der Oberraum, dann ist R abgeschlossen und offen (denn jeder metrische Raum ist relativ zu sich selbst abgeschlossen und offen).

Ist jedes offene Intervall offen?

Jedes offene Intervall ist eine offene Teilmenge von R. und 2.) jede offene Teilmenge von R ist die Vereinigung von höchstens abzählbar vielen offenen Intervallen.