Was ist eine halbgruppe?
Gefragt von: Angelo Eder B.A. | Letzte Aktualisierung: 18. Juli 2021sternezahl: 4.5/5 (22 sternebewertungen)
In der Mathematik ist eine Halbgruppe eine algebraische Struktur bestehend aus einer Menge mit einer inneren zweistelligen Verknüpfung, die dem Assoziativgesetz genügt. Sie ist eine Verallgemeinerung einer Gruppe.
Ist eine halbgruppe abgeschlossen?
Ist H = (H, ·) eine Halbgruppe und U eine Untermenge von H , so sagt man, daß U unter der Multiplikation abgeschlossen ist, falls gilt: Sind u1,u2 ∈ U, so ist auch u1u2 ∈ U. Eine Untermenge, die unter der Multiplikation abgeschlossen ist und die das Einselement enthält, ist selbst wieder eine Halbgruppe.
Wann ist ein Monoid eine Gruppe?
Definition • Eine Halbgruppe ist eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung. Ein Monoid ist eine Halbgruppe mit einem neutralen Element. Eine Gruppe ist ein Monoid so dass jedes Element ein Inverses hat. ... Bezüglich der Multiplikation sind N0, N, Z, Q, R Monoide (das neutrale Element ist die 1).
Was ist Abelsch?
Eine Gruppe heißt abelsch (oder kommutativ), falls ab = ba für alle Elemente a,b gilt; in abelschen Gruppen schreibt man die Gruppenoperation meist als Addition. Eine Gruppe G heißt endlich erzeugt, wenn sie ein endliches Erzeugendensystem besitzt. ... Man nennt diese Gruppe das Produkt der Gruppen A und B.
Ist R Abelsch?
Das neutrale Element ist 0 , das inverse Element von n ist −n . In derselben Weise sind (Q, +) und (R,+) ebenfalls abelsche Gruppen.
Halbgruppe, Definition, algebraische Struktur | Mathe by Daniel Jung
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Wie zeigt man dass eine Gruppe abelsch ist?
zeigen sie G ist abelsch wenn G eine Gruppe mit neutralem Element e ist und es gilt g*g=e für alle g Element G. Sei G eine Gruppe mit neutralem Element e . Angenommen es gilt g·g=e für alle g∈G. Zeigen sie: G ist abelsch.
Welche Mengen sind Gruppen?
In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei drei Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen ...
Ist z 0 eine Gruppe?
(Z\{0},·) ist keine Gruppe, da es zwar ein neutrales Element gibt, aber nicht immer ein inverses Element.
Ist eine Untergruppe eine Gruppe?
Eine Untergruppe, die unter allen Automorphismen der Gruppe in sich abgebildet wird, heißt charakteristische Untergruppe der Gruppe.
Welche Gruppen sind abelsch?
Eine abelsche Gruppe ist eine Gruppe, für die zusätzlich das Kommutativgesetz gilt. abstrahiert und der Begriff der kommutativen oder abelschen Gruppe geschaffen. Der Name ist zu Ehren des norwegischen Mathematikers Niels Henrik Abel gewählt worden.
Ist Z ein Körper?
Die rationalen Zahlen bilden (ebenso wie die reellen Zahlen oder die komplexen Zahlen) einen Körper. Dagegen ist in den Zahlenbereichen ℕ und ℤ das Axiom 2 nicht erfüllt, somit bilden diese Strukturen keinen Körper.
Ist jeder Nullteilerfreie Ring ein Körper?
Man nennt einen Ring R nullteilerfrei, wenn für je zwei Elemente r, r′ ∈ R mit r = 0,r′ = 0 gilt: rr′ = 0. Der Ring Z ist nullteilerfrei, jeder Körper ist nullteilerfrei.
Sind Gruppen Kommutativ?
Die Gruppen, die auf den gewöhnlichen Zahlenbereichen basieren sind kommutativ. Im allgemeinen gilt sogar: Jede Untergruppe einer kommutativen Gruppe ist kommutativ.
Sind die natürlichen Zahlen eine Gruppe?
(1) Die Menge ℕ der natürlichen Zahlen ist weder bezüglich der Addition noch bezüglich der Multiplikation eine Gruppe. ... Bezüglich der Multiplikation bilden die ganzen Zahlen keine Gruppe, da nicht jede Gleichung a⋅x=b für a, b∈ℤ mit einem x∈ℤ lösbar ist.
Ist Z eine Gruppe?
Um in der Mathematik Beispiele für Gruppen zu finden, muss man nicht lange suchen. Die ganzen Zahlen Z zusammen mit der Addition bilden eine Gruppe ( Z , + ) (\dom Z, +) (Z,+). ... Übrigens bilden die natürlichen Zahlen N bezüglich der Addition keine Gruppe. Es existiert in der Regel kein inverses Element.
Was ist die Ordnung einer Gruppe?
Die Ordnung eines Elements a ∈ G ist ordG(a) := min{i ∈ N | ai = 1}. H ⊆ G heißt Untergruppe von G, falls H eine Gruppe ist. Wir bezeichnen mit 〈a〉 := {a,a2,a3,...,aordG(a)} die von a erzeugte Untergruppe. Die von einem Element a erzeugten Gruppen heißen zyklisch.
Wann ist eine Gruppe zyklisch?
Zyklische Gruppen sind jene Gruppen, die von einem Element erzeugt werden, genauer: Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn es ein Element a ∈ G mit G = 〈a〉 gibt. Dabei ist 〈a〉 = {ak | k ∈ Z}. Zyklische Gruppen sind also endlich oder abzählbar unendlich.
Wann ist eine Gruppe abgeschlossen?
Ein Paar (G, ∗) mit einer Menge G und einer inneren zweistelligen Verknüpfung ∗: G G → G, (a,b) ↦ a ∗ b heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind: Abgeschlossenheit: Für alle Gruppenelemente a und b gilt: (a ∗ b) ∈ G • Assoziativität: Für alle Gruppenelemente a, b und c gilt: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
Wann ist es eine Gruppe?
Gruppe steht für: soziale Gruppe, in Soziologie und Psychologie in der Regel eine Gruppe ab 3 Personen mit unmittelbaren und gegenseitigen Beziehungen zueinander. Organisationselement in der Behördenhierarchie, siehe Unterabteilung.