Was ist eine integralrechnung?
Gefragt von: Elli Jordan MBA. | Letzte Aktualisierung: 27. März 2021sternezahl: 4.4/5 (28 sternebewertungen)
Aus dem Englischen übersetzt-
Was versteht man unter Integralrechnung?
Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen Disziplin der Analysis. Sie ist aus dem Problem der Flächen- und Volumenberechnung entstanden. Das Integral ist ein Oberbegriff für das unbestimmte und das bestimmte Integral. Die Berechnung von Integralen heißt Integration.
Für was braucht man Integralrechnung?
Ingenieure müssen für ihre Konstruktionen die Flächen von Formen genauso berechnen, wie Hersteller von Produkten wissen müssen, wie viel von welchen Materialien gebraucht wird. Dies kann Integralrechnung leisten. Neben Schüsseln, Schalen und Pfeffermühlen sind aber auch noch andere Objekte Rotationskörper.
Wie funktionieren Integrale?
Genaugenommen ist ein Integral nicht die Fläche unter einem Funktionsgraphen sondern genauer gesagt die Fläche zwischen Funktionsgraph und der Diagrammachse. Befindet sich der Funktionsgraph auf der positiven Seite (also oberhalb der Achse), zählt die Fläche als positiv.
Was gibt das Integral im Sachzusammenhang an?
Bestimmtes Integral im Sachzusammenhang
Beschreibt eine Funktion f die momentane Änderungsrate einer Größe in Abhängigkeit von der Zeit t , so errechnet das bestimmte Integral ∫t2t1f(t)dt ∫ t 1 t 2 f ( t ) d t den Wert der Gesamtänderung der Größe im Zeitintervall [t1;t2] [ t 1 ; t 2 ] .
Integrieren Grundlagen (Integral) - Basics
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Was gibt uns die stammfunktion an?
Unter der Stammfunktion einer Funktion f (x) versteht man die Funktion F (x), deren Ableitung F '(x) mit f (x) übereinstimmt. Die Stammfunktion F (x) ist demnach die Aufleitung von f (x). Mathematisch stellt man diesen Sachverhalt foglendermaßen dar. Es gibt zu jeder stetigen Funktion f (x) eine Stammfunktoin F (x).
Was bedeutet die stammfunktion im Sachzusammenhang?
Nun ja: Was die Stammfunktion im Sachzusammenhang aussagt, hängt eben vom Sachzusammenhang ab. Das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit ist zum Beispiel der Weg. In einem anderen Sachzusammenhang bedeutet es etwas völlig anderes. ... Stammfunktion einer Funktion.
Wie kann man Aufleiten?
...
Es folgen Beispiele:
- f(x) = 2 -> F(x) = 2x + C.
- f(x) = 5 -> F(x) = 5x + C.
- f(x) = 8 -> F(x) = 8x + C.
Wie integriere ich richtig?
Die Umkehrung der Ableitung nennt man Integration. Hier geht man den entgegengesetzten Weg und man schließt von f''(x) auf f'(x) und weiter auf f(x). Liegt bereits f(x) vor und man integriert erneut, erhält man F(x). Leitet man hingegen F(x) wieder ab erhält man f(x).
Wie funktioniert die differentialrechnung?
- Wählt einen ersten Punkt auf der Gerade aus. ...
- Wählt einen zweiten Punkt auf der Gerade aus: Punkt 2: X = 2 und Y = 1.
- Bildet ΔY: Den zweiten Y-Punkt minus dem ersten Y-Punkt: 3 - 1 = 2.
- Bildet ΔX: Den zweiten X-Punkt minus dem ersten X-Punkt: 6 - 2 = 4.
Warum ist das Integral die Fläche?
Integral als Flächenbilanz
Das Integral wird dazu verwendet, Flächen zwischen den Koordinatenachsen und einem Graphen oder zwischen zwei verschiedenen Graphen zu berechnen. ... Die einzelnen Flächen werden dann betragsmäßig addiert; die Maßzahl nicht orientierten Flächeninhalts ist immer positiv.
Ist ein Integral immer positiv?
Liegt die Fläche oberhalb der x-Achse, so ist das bestimmte Integral positiv. Liegt die Fläche unterhalb der x-Achse so ist das bestimmet Integral negativ.
Für was steht das D bei integralen?
welcher Variablen integriert wird. Die Schreibweise ∫ f(x) dx kommt daher, dass das Integral bei stetigen positiven Funktionen unendlich viele kleine Rechteckflächen mit der jeweiligen Höhe f(x) und der Breite Δx addiert. Wenn Δx beliebig klein wird, nennt man es dx.
Wie bestimme ich eine stammfunktion?
- Erhöht den Exponenten um 1.
- Schreibt den Kehrbruch dieses "neuen" Exponenten als Faktor vor das x, also 1 durch den um 1 erhöhten Exponenten.
- Fertig das ist die "Aufleitung".
Was ist eine Flächenmaßzahl?
Flächenmaßzahl ist dasselbe wie Flächeninhalt ohne Maßeinheit (wie cm² o. ä.).
Was ist der Integrand?
Das Integrand ist die Funktion, die integriert werden soll. Sie wird meistens als f(x) geschrieben (in Kleinbuchstaben), Im Gegensatz dazu wird die Stammfunktion als großes F(x) geschrieben.
Wie integriere ich einen Bruch?
Nach der „normalen“ Regel wäre: Ein Bruch, in welchem sich ein oben nur eine Zahl befindet und unten ein „x“ ohne Hochzahl, hat als Stammfunktion den Logarithmus (ln). Beispiel p. Steht beim „x“ noch eine Zahl, wendet man die Kettenregel für die Integration an (man teilt also durch die innere Ableitung).
Warum gibt es mehrere Stammfunktionen?
Es gibt immer unendlich viele Stammfunktionen der Form F(x) + c einer gegebenen Funktion f(x), da die Ableitung einer solchen Stammfunktion immer wieder f(x) ergibt. Konstanten werden ja zu null abgeleitet.
Ist die integralfunktion die stammfunktion?
Gemäß dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) ist jede Integralfunktion einer stetigen Funktion f eine Stammfunktion von f . Umgekehrt gilt dies nicht, denn jede Integralfunktion von f hat mindestens eine Nullstelle, aber nicht jede Stammfunktion von f hat zwangsläufig eine Nullstelle.