Was ist eine zyklische gruppe?

Gefragt von: Nikola Pfeifer  |  Letzte Aktualisierung: 18. August 2021
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In der Gruppentheorie ist eine zyklische Gruppe eine Gruppe, die von einem einzelnen Element a erzeugt wird. Sie besteht nur aus Potenzen des Erzeugers a: \left\langle a \right\rangle:= \lbrace a^n \mid n \in \Z \rbrace.

Was ist eine zyklische Untergruppe?

Jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist selbst wieder zyklisch. Bew.: Sei G = <a> zyklisch, U Untergruppe von G und b = ak dasjenige Element aus U, mit dem kleinsten positiven Exponenten k. Dann enthält U sämtliche Potenzen von b (wegen Abgeschlossenheit) aber keine anderen Potenzen von a. Sei nämlich ax aus U.

Ist eine zyklische Gruppe Abelsch?

Eigenschaften. Alle zyklischen Gruppen sind abelsche Gruppen.

Wann ist eine Gruppe nicht zyklisch?

Für d ≥ 3 ist die Gruppe (Z/2d)∗ nicht zyklisch. Beweis: Die Gruppe G = (Z/2d)∗ hat die Ordnung φ(2d)=2d−1. Die Elemente von G sind die Restklassen a mit a ∈ Z ungerade — alle diese Elemente haben als Ordnung einen Teiler von 2d−2.

Ist Z eine zyklische Gruppe?

Ein Satz besagt, dass jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ebenfalls zyklisch ist.

Zyklische Gruppe - Ring - Körper / Mathe 2 für Informatiker

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Ist Z eine Gruppe?

Um in der Mathematik Beispiele für Gruppen zu finden, muss man nicht lange suchen. Die ganzen Zahlen Z zusammen mit der Addition bilden eine Gruppe ( Z , + ) (\dom Z, +) (Z,+). ... Übrigens bilden die natürlichen Zahlen N bezüglich der Addition keine Gruppe. Es existiert in der Regel kein inverses Element.

Ist z 4z zyklisch?

Beispiel: Z und Z/nZ sind zyklische Gruppen mit Erzeuger bzw. der Restklasse¯bei einer additiven Verknüpfung.

Wann ist eine Gruppe endlich?

Endliche Gruppen sind etwa die zyklischen Gruppen bis auf die unendliche zyklische Gruppe oder die Permutationsgruppen (siehe: Symmetrische Gruppe, Alternierende Gruppe) endlicher Mengen.

Wann ist eine Gruppe isomorph?

Zwei Gruppen werden als isomorph (gleichgestaltig) bezeichnet, wenn sie strukturell gleich sind. Das heißt, die Gruppenoperation vollzieht sich in der einen Gruppe genauso wie die Gruppenoperation in der zweiten Gruppe. Endliche Gruppen sind genau dann isomorph, wenn ihre Gruppentafeln übereinstimmen.

Sind symmetrische Gruppen zyklisch?

Für n ≥ 3 sind die Symmetrischen Gruppen Sn nicht zyklisch (sie sind ja nicht einmal kommutativ).

Was ist die Ordnung einer Gruppe?

Die Ordnung eines Elements a ∈ G ist ordG(a) := min{i ∈ N | ai = 1}. H ⊆ G heißt Untergruppe von G, falls H eine Gruppe ist. Wir bezeichnen mit 〈a〉 := {a,a2,a3,...,aordG(a)} die von a erzeugte Untergruppe. Die von einem Element a erzeugten Gruppen heißen zyklisch.

Ist z2 eine Gruppe?

Die zyklische Gruppe vom Grad 2 ist die einzige Gruppe mit der Ordnung 2.

Was ist Abelsch?

Eine Gruppe heißt abelsch (oder kommutativ), falls ab = ba für alle Elemente a,b gilt; in abelschen Gruppen schreibt man die Gruppenoperation meist als Addition. Eine Gruppe G heißt endlich erzeugt, wenn sie ein endliches Erzeugendensystem besitzt.

Was ist ein zyklisch?

'Kreis, Kreislauf, Reihe, regelmäßig wiederkehrende zeitliche Abfolge' (2. ... kýklos (κύκλος) 'Kreis, Umkreis, Rad, kreisförmiger Gegenstand, Kreislauf'. zyklisch Adj. 'inhaltlich zusammenhängend aufeinanderfolgend' (2.

Was ist ein isomorph?

In der Mathematik ist ein Isomorphismus (von altgriechisch ἴσος (ísos) – „gleich“ und μορφή (morphḗ) – „Form“, „Gestalt“) eine Abbildung zwischen zwei mathematischen Strukturen, durch die Teile einer Struktur auf bedeutungsgleiche Teile einer anderen Struktur umkehrbar eindeutig (bijektiv) abgebildet werden.

Ist Q zyklisch?

Aufgabe 3: (1+1+1=3 P) (a) Zeigen Sie: jede endlich erzeugte Untergruppe von (Q, +) ist zyklisch. (b) Zeigen Sie: jede endlich erzeugte Untergruppe von (Q×, ·) ist frei.

Was heißt endlich erzeugt?

Eine Gruppe heißt endlich erzeugt, wenn sie ein Erzeugendensystem aus endlich vielen Elementen besitzt.

Sind die natürlichen Zahlen eine Gruppe?

(1) Die Menge ℕ der natürlichen Zahlen ist weder bezüglich der Addition noch bezüglich der Multiplikation eine Gruppe. Beide Operationen sind zwar assoziativ und kommutativ (wie in allen genannten Zahlenbereichen), aber keine dieser Operationen ist umkehrbar in ℕ. So ist z.B. die Gleichung 5+x=3 in ℕ nicht lösbar.

Was ist eine Gruppe?

Definition von Gruppe:

Eine Gruppe hat eine bestimmte Anzahl von Mitgliedern, die durch ein System gemeinsamer Normen und die Verteilung der Aufgaben ein gemeinsames Ziel erreichen wollen. Die Mitglieder verbinden ähnliche Merkmale oder Interessen.