Was sind singulärwerte?

Gefragt von: Hans Georg Seidel  |  Letzte Aktualisierung: 6. August 2021
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Aus dem Englischen übersetzt-

Was sagen singulärwerte aus?

Eine Singulärwertzerlegung (Abk.: SWZ oder SVD für Singular Value Decomposition) einer Matrix bezeichnet deren Darstellung als Produkt dreier spezieller Matrizen. Daraus kann man die Singulärwerte der Matrix ablesen. Diese charakterisieren, ähnlich den Eigenwerten, Eigenschaften der Matrix.

Ist die singulärwertzerlegung eindeutig?

Außerdem sind die Singulärwerte σj eindeutig bestimmt. Falls A quadratisch und die σj paarweise verschieden, sind die links- und rechtsseitigen Singulärvektoren uj und vj bis auf das Vorzeichen eindeutig bestimmt.

Wann ist die Matrix singulär?

Definition Eine n-reihige, quadratische Matrix A heisst regulär, wenn ihre Determinante einen von Null verschiedenen Wert besitzt. Anderenfalls heisst sie singulär. Anmerkungen A is regulär, wenn det A = 0 ist, und singulär, wenn det A = 0 ist.

Ist eine Matrix Diagonalisierbar?

Ist eine Matrix diagonalisierbar, so ist die geometrische Vielfachheit ihrer Eigenwerte gleich der jeweiligen algebraischen Vielfachheit. Das bedeutet, die Dimension der einzelnen Eigenräume stimmt jeweils mit der algebraischen Vielfachheit der entsprechenden Eigenwerte im charakteristischen Polynom der Matrix überein.

Singularwertzerlegung | #14 Lineare Algebra | EE4ETH

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Wann Matrix nicht Diagonalisierbar?

Wenn das charakteristische Polynom einer n × n -Matrix weniger als Nullstellen besitzt, ist die Matrix nicht diagonalisierbar. Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes entspricht der Dimension des zugehörigen Eigenraums.

Für welche A ist Matrix Diagonalisierbar?

Eine quadratische Matrix A ∈ C(n,n) heißt diagonalisierbar, wenn es eine Matrix X ∈ GL(n,C) gibt mit A = XDX−1 . Dabei sei D eine Diagonalmatrix.

Was ist eine singuläre Matrix?

Eine reguläre, invertierbare oder nichtsinguläre Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, die eine Inverse besitzt. Reguläre Matrizen können auf mehrere äquivalente Weisen charakterisiert werden. ... Eine quadratische Matrix, die keine Inverse besitzt, wird singuläre Matrix genannt.

Wann ist eine Matrix hermitesch?

Eine hermitesche Matrix ist stets normal und selbstadjungiert, sie besitzt nur reelle Eigenwerte und sie ist stets unitär diagonalisierbar. Eine wichtige Klasse hermitescher Matrizen sind positiv definite Matrizen, bei denen alle Eigenwerte positiv sind. Eine hermitesche Matrix mit reellen Einträgen ist symmetrisch.

Wann ist eine Matrix Unitär?

Eine Matrix heißt unitär, wenn gilt: AAH=I (1) wobei gilt AH=ĀT (dh. dem komplex kojugierten Transponierten entspricht). Eine lineare Abbildung aus einem unitären Raum in sich selbst ist unitär, wenn ihre Matrix, bezüglich einer orthogonalen Basis, unitär ist.

Wann ist die transponierte gleich der inversen?

Inverse Matrix

Eine orthogonale Matrix ergibt multipliziert mit ihrer transponierten Matrix, die Einheitsmatrix. Die transponierte und die invertierte Matrix sind bei einer orthogonalen Matrix gleich (AT = A-1). Das Gleiche gilt also auch für die Multiplikation mit der Inversen Matrix.

Was ist ein Determinant?

Die Determinante einer Matrix ( oder ) gibt an, wie sich das Volumen einer aus Eckpunkten zusammengesetzten Geometrie skaliert, wenn diese durch die Matrix abgebildet wird. Ist die Determinante negativ, so ändert sich zusätzlich die Orientierung der Eckpunkte.

Wie berechnet man den Rang einer Matrix?

Um den Rang einer Matrix bestimmen zu können, benötigt man also die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten. Eine Möglichkeit diese zu bestimmen, ist über das Gaußsche Eliminationsverfahren .

Ist Matrix singulär?

Eine rechteckige Wertematrix (z. B. eine Matrix aus Quadratsummen und Kreuzprodukten) ist singulär, wenn die Elemente in einer Spalte (oder Zeile) der Matrix von Elementen einer oder mehrerer anderer Spalten (oder Zeilen) der Matrix linear abhängig sind.

Was versteht man unter Singularität?

Als Singularität bezeichnet man in der Physik und Astronomie Orte, an denen die Gravitation so stark ist, dass die Krümmung der Raumzeit divergiert, umgangssprachlich also „unendlich“ ist. ... Physikalische Größen wie die Massendichte, zu deren Berechnung die Metrik benötigt wird, sind dort nicht definiert.

Was ist singulär?

1) nur vereinzelt vorkommend; nur vereinzelt auftretend; einen Einzelfall oder Sonderfall darstellend. Begriffsursprung: von französisch singulier, zurückgehend auf lateinisch singularis „zum Einzelnen gehörig, vereinzelt, eigentümlich“, abgeleitet von singulus „einzeln, einer allein“

Ist die Matrix Diagonalähnlich?

Eine Matrix A heisst diagonalisierbar, falls es eine invertierbare Matrix X und eine Diagonalmatrix L gibt, so dass A = X^(-1) L X. ... (Es gibt noch den Satz: Genau dann wenn die geometrischen und die algebraischen Vielfachheiten aller Eigenwerte einer Matrix gleich sind, ist die Matrix diagonalisierbar.

Wann ist eine Matrix orthogonal Diagonalisierbar?

Eine Matrix S ∈ Rn×n ist orthogonal diagonalisierbar genau dann, wenn S symmetrisch ist. Das gleiche gilt auch für die Matrix T.

Wann ist ein endomorphismus Diagonalisierbar?

Definition Der Endomorphismus ϕ ist diagonalisierbar, falls eine Basis B von V existiert, so dass die Abbildungsmatrix von ϕ bzgl. der Basis B eine Diagonalmatrix ist.