Welche der folgenden relationen sind äquivalenzrelationen?
Gefragt von: Frau Wanda Witt B.A. | Letzte Aktualisierung: 15. Juni 2021sternezahl: 4.3/5 (2 sternebewertungen)
(b) Eine Relation R heißt Äquivalenzrelation, wenn die folgenden Eigenschaften gelten: (A1) Für alle a ∈ M gilt a ∼ a (Reflexivität). (A2) Sind a,b ∈ M mit a ∼ b, so gilt auch b ∼ a (Symmetrie). (A3) Sind a,b,c ∈ M mit a ∼ b und b ∼ c, so gilt auch a ∼ c (Transitivität).
Welche Relationen sind Äquivalenzrelationen?
Unter einer Äquivalenzrelation versteht man in der Mathematik eine zweistellige Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Eine Äquivalenzrelation teilt eine Menge restlos in disjunkte (elementfremde) Untermengen, Äquivalenzklassen genannt. ...
Was ist äquivalenzrelation?
Eine Menge M, auf der eine Äqivalenzrelation definiert ist, zerfällt sozusagen von selbst in Teilmengen Mi, und zwar so, dass für je zwei Elemente x und y einer Teilmenge Mi stets x ~ y gilt. Das Umgekehrte ist ebenfalls richtig: Jede Zerlegung einer Menge M induziert in natürlicher Weise eine Äquivalenzrelation auf M.
Welche äquivalenzklassen gibt es?
Es gibt eine Möglichkeit, dass es drei Äquivalenzklassen gibt. Diese sind dann {a}, {b} und {c}. Das entspricht der Äquivalenzrelation, in der jedes Element von A nur äquivalent zu sich selbst ist. Es gibt mehrere Möglichkeiten, dass es zwei Äquivalenzklassen gibt.
Kann eine äquivalenzrelation Antisymmetrisch sein?
Zeigen Sie, dass R (Äquivalenzrelation) antisymmetrisch ist, wenn R nacheindeutig ist. Aufgabe: Sei M eine Menge und R ⊆ M2 eine Äquivalenzrelation. ... Handelt es sich um eine Gleichheitsrelation, so wäre diese zwangsläufig auch antisymmetrisch.
Äquivalenzrelation Übersicht | Mathe by Daniel Jung
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Kann eine Menge Antisymmetrisch und symmetrisch sein?
Die Symmetrie einer zweistelligen Relation R auf einer Menge ist gegeben, wenn aus x R y stets y R x folgt. Man nennt R dann symmetrisch. Die Symmetrie ist eine der Voraussetzungen für eine Äquivalenzrelation. Zur Symmetrie gegensätzliche Begriffe sind Antisymmetrie und Asymmetrie.
Wann ist eine Relation Antisymmetrisch?
Wir nennen eine zweistellige Relation R in einer nichtleeren Menge M antisymmetrisch, wenn aus xRy folgt, dass yRx falsch ist, wenn x und y verschiedene Elemente sind:. ... Für alle Paare x,y aus der Menge M für die "x ungleich y" gilt: Aus "x steht in Relation zu y" folgt: "y steht nicht in Relation zu x".
Wie bestimmt man äquivalenzklassen?
...
Äquivalenzklassen
- x∈[y],
- [x]∩[y]≠∅,
- [x] = [y].
Was bedeutet äquivalenzklasse?
1) Eine Äquivalenzklasse ist eine Untermenge eines Wertebereichs von Aus- und Eingaben, bei denen ein gleichartiges Verhalten der Komponente oder des Systems während des Softwaretests angenommen wird.
Was ist ein Repräsentantensystem?
Lexikon der Mathematik Repräsentantensystem
Ist die Menge M mit einer Äquivalenzrelation versehen, und enthält eine Menge R aus jeder Äquivalenzklasse genau ein Element, so wird sie ein Repräsentantensystem der Quotientenmenge M/R genannt.
Wie beweist man äquivalenzrelation?
Für jede Äquivalenzrelation auf einer Menge M gilt: (a) Für a,b ∈ M gilt a ∼ b genau dann, wenn a = b. (b) Jedes Element a ∈ M liegt in genau einer Äquivalenzklasse. Insbesondere ist M also die disjunkte Vereinigung aller Äquivalenzklassen. Beweis.
Was ist eine Gleichheitsrelation?
Hallo, die Gleichheitsrelation auf eine Menge A G = menge((a, a)|a \el\ A) ist die einzige Relation, die sowohl eine Äquivalenzrelation als auch eine Halbordnung ist. Die Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität sind einfach zu zeigen.
Ist die Identitätsrelation Transitiv?
Die Identitätsrelation IdA auf einer Menge A ist stets reflexiv, transitiv, symmetrisch und antisymmetrisch. Reflexivität, Symmetrie und Transitivität können mit Hilfe der Identitätsrelation, der Umkehrrelation und der Komposition wie folgt charakterisiert werden.
Was ist eine Partition einer Menge?
In der Mengenlehre ist eine Partition (auch Zerlegung oder Klasseneinteilung) einer Menge M eine Menge P, deren Elemente nichtleere Teilmengen von M sind, sodass jedes Element von M in genau einem Element von P enthalten ist.
Wann ist eine Menge reflexiv?
Bei der Reflexivität handelt es sich um eine Aussage, die besagt, dass jedes Element der betrachteten Menge in Relation zu sich selbst steht. Bei "der Symmetrie" dagegen wird nicht ausgesagt, dass x R y und y R x, sondern "nur": falls x R y dann auch y R x. Analoges gilt für die Transitivität.
Was ist ein Relation?
Als Relation (lateinisch relatio ‚Beziehung, Verhältnis') wird im Allgemeinen ein Verhältnis zwischen einem Seienden oder Ereignis zu einem oder mehreren anderen bezeichnet. ... Der Begriff der Relation steht im engen Zusammenhang mit den Begriffen Struktur und System.
Wann sind äquivalenzklassen gleich?
Die Äquiva- lenzklassen sind die Schulklassen und zwei Schüler sind äquivalent, falls sie in der gleichen Klasse sind. Es sei m ∈ N,m > 0. Zwei Zahlen x, y ∈ Z sind äquivalent falls gilt x ≡ y (mod m). ... Eine andere Schreibweise ist: Z/ ∼, falls klar ist, dass ∼ Kongruenz modulo m bedeutet.
Was ist eine Grenzwertanalyse?
Bei einer Grenzwertanalyse werden die „Grenzen“ der Äquivalenzklasse überprüft. Dabei wird für jedes Ende der exakte Grenzwert und die beiden (innerhalb und außerhalb der Äquivalenzklasse) benachbarten Werte getestet.
Wann ist eine Relation nicht Transitiv?
Wäre die Relation transitiv, so müsste aus „Stein gewinnt gegen Schere“ und „Schere gewinnt gegen Papier“ folgen: „Stein gewinnt gegen Papier“, was aber den Spielregeln widerspricht. Aus diesem Grund kann die Relation nicht mehr transitiv sein, sie ist intransitiv.