Bestimmen sie die äquivalenzklassen?
Gefragt von: Frau Else Seifert | Letzte Aktualisierung: 16. April 2022sternezahl: 5/5 (33 sternebewertungen)
Allgemein gilt daher: Wollen Sie für eine Äquivalenzrelation die Äquivalenzklassen bestimmen, müssen Sie einfach alle Mengen mit Objekten (Scheine, Zahlen oder was auch immer) finden, die durch die Zuordnung als gleich behandelt werden.
Wie gibt man eine Äquivalenzklasse an?
Für jedes Element x aus X definieren wir seine Äquivalenzklasse wie folgt: [x] := {y∈ X |y∼ x}. (Manchmal schreibt man auch [x]∼ statt [x], um die Abhängigkeit von ∼ zu betonen.) Es ist nichts anderes als ein Element einer Äquivalenzlklasse, welches dann Symbolisch für alle Elemente steht, die diese Klasse haben.
Wann sind Äquivalenzklassen gleich?
Zwei Äquivalenzklassen [a] und [b] sind genau dann gleich, wenn aRb, also ihre Repräsentanten zueinander Äquivalent sind. Dazu gibt es einen Beweis: a) Sei [a]=[b], dann ist wegen der Reflexivität b€[b] und damit gilt b€[a],(((also aRb))).
Was ist eine Äquivalenzklasse Mathe?
Äquivalenzrelationen sind für die Mathematik und für die Logik von großer Bedeutung. Eine Äquivalenzrelation teilt eine Menge restlos in disjunkte (elementfremde) Untermengen, Äquivalenzklassen genannt.
Wie zeigt man dass eine Relation eine Äquivalenzrelation ist?
(b) Eine Relation R heißt Äquivalenzrelation, wenn die folgenden Eigenschaften gelten: (A1) Für alle a ∈ M gilt a ∼ a (Reflexivität). (A2) Sind a,b ∈ M mit a ∼ b, so gilt auch b ∼ a (Symmetrie). (A3) Sind a,b,c ∈ M mit a ∼ b und b ∼ c, so gilt auch a ∼ c (Transitivität).
03 Äquivalenzklassen
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Wann ist eine Relation eine Funktion?
Funktion. Eine Funktion (oder Abbildung) ist eine spezielle Relation f ⊆ A × B f\subseteq A\times B f⊆A×B, bei der es zu jedem a ∈ A a\in A a∈A genau ein Paar ( a , b ) ∈ f (a,b)\in f (a,b)∈f gibt.
Was versteht man unter Relation?
Als Relation (lateinisch relatio ‚Beziehung, Verhältnis') wird im Allgemeinen ein Verhältnis zwischen einem Seienden oder Ereignis zu einem oder mehreren anderen bezeichnet. „Im einzelnen gibt es einseitige und wechselseitige Beziehungen. “
Kann eine Menge Antisymmetrisch und symmetrisch sein?
Annahme, es gibt zwei verschiedene Elemente, die in (symmetrischer UND antisymmetrischer) Relation stehen, dann folgt, dass die beiden Elemente gleich sind (s.o.). Also kann (kontrapositorisch) keine Relation sowohl symmetrisch als auch antisymmetrisch sein, wenn zwei verschiedene Elemente in dieser Relation stehen.
Wann ist eine Relation symmetrisch?
Die Symmetrie einer zweistelligen Relation R auf einer Menge ist gegeben, wenn aus x R y stets y R x folgt. Man nennt R dann symmetrisch. Die Symmetrie ist eine der Voraussetzungen für eine Äquivalenzrelation. Zur Symmetrie gegensätzliche Begriffe sind Antisymmetrie und Asymmetrie.
Was bedeutet ∼?
Eine Relation ∼ auf A heißt eine Äquivalenzrelation oder kurz eine Äquivalenz, falls ∼ reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Gilt a ∼ b für a, b ∈ A, so sagen wir, dass a und b äquivalent (bzgl. ∼) sind.
Wann ist eine Funktion Transitiv?
Die Elemente einer transitiven Relation stehen immer in einer Dreiecksbeziehung zueinander. Aus R(a,b) und R(b,c) folgt stets R(a,c). Ein Beispiel für eine transitive Relation ist z.B. die < Relation. Es gilt immer: (a < b ∧ b < c) ⇒ a < c.
Wie viele verschiedene Äquivalenzrelationen gibt es?
Auf einer einelementigen Menge gibt es nur eine Äquivalenzrelation, auf einer zweielementigen Menge gibt es zwei (eine mit und eine ohne . Das macht zusammen verschiedene Äquivalenzrelationen.
Was ist eine Identitätsrelation?
Identitätsrelation. Sie ist eine technisch wichtige, inhaltlich aber uninteressante Relation und macht Sprachen zu Relationen, ohne an der Menge der erkannten Zeichenketten etwas zu ändern. Obere und untere Sprache der Relation sind identisch mit der zugrundeliegenden Sprache.
Wann ist eine Relation reflexiv?
Die Reflexivität einer zweistelligen Relation R auf einer Menge ist gegeben, wenn x R x für alle Elemente x der Menge gilt (also jedes Element in Relation zu sich selbst steht). Man nennt R dann reflexiv.
Was ist Grenzwertanalyse?
Bei einer Grenzwertanalyse werden die „Grenzen“ der Äquivalenzklasse überprüft. Dabei wird für jedes Ende der exakte Grenzwert und die beiden (innerhalb und außerhalb der Äquivalenzklasse) benachbarten Werte getestet.
Was ist reflexiv Mathe?
Eigenschaft einer zweistelligen Relation R ⊆ M × M über einer Menge M. R heißt reflexiv, wenn für alle x ∈ M das Paar (x, x) aus R ist, also x mit sich selbst in Relation steht.
Wann ist eine Relation nicht reflexiv?
nicht reflexiv: wenn x und y übereinstimmen, kann keine der beiden Gleichungen gelten. Die Punkte auf der Diagonalen gehören nicht zur Relation. symmetrisch: x = y + 1 und x = y − 1 gehen durch Vertau- schung von x und y ineinander über. Die Punkte liegen symme- trisch zur Diagonalen.
Wann ist eine Relation nicht transitiv?
Wäre die Relation transitiv, so müsste aus „Stein gewinnt gegen Schere“ und „Schere gewinnt gegen Papier“ folgen: „Stein gewinnt gegen Papier“, was aber den Spielregeln widerspricht. Aus diesem Grund kann die Relation nicht mehr transitiv sein, sie ist intransitiv.
Ist eine Relation nicht asymmetrisch so ist sie symmetrisch?
Eine nicht leere asymmetrische Relation ist also niemals symmetrisch. Eine asymmetrische Relation ist zudem stets irreflexiv. Von der Asymmetrie zu unterscheiden ist damit der Begriff der Antisymmetrie, die auch Reflexivität erlaubt. Eine asymmetrische Relation ist somit ein Sonderfall einer antisymmetrischen Relation.
Wie viele Relationen gibt es auf einer n elementigen Menge?
Bekanntlich hat eine Menge mit m Elementen exakt 2m Teilmengen. In unserem Fall ist m = n2. Also gibt es 2n2 Relationen auf einer Menge mit n Elementen.
Was bedeutet asymmetrisch in der Mathematik?
Mathematik. In der Mathematik wird eine Relation, die nicht die Bedingung für Symmetrie erfüllt, nicht symmetrische Relation genannt, und eine solche, wenn sie darüber hinaus die Bedingungen für Asymmetrie erfüllt, als asymmetrische Relation bezeichnet. Davon abzugrenzen ist der Begriff der Antisymmetrie.
Ist die leere Menge eine Äquivalenzrelation?
Die Relation R, die besagt, dass zwei Elemente von M in dieselbe Klasse gehen, ist einen Äquivalenzrelation. Die leere Relation ∅ ist eine Äquivalenzrelation auf der leeren Menge ∅.
Was ist eine Relation Beispiel?
Beispiel einer Relation „Person x liebt Person y“. Diese zweistellige Relation wird über eine Menge von geordneten Paaren modelliert. Die einstellige Relation „Person x ist weiblich“ wird als Teilmenge der Grundmenge modelliert.
Was bedeutet in Relation setzen?
In Relation Setzen bedeutet etwa die gleiche wie Einen Vergleich Anstellen (zwischen).
Wann ist eine Relation vollständig?
Eine Relation heißt lineare Ordnung oder totale Ordnung oder Ordnung, wenn sie Halbordnung ist und zusätzlich noch total ist. Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. ist sogar totale Ordnung.