Wie bestimme ich äquivalenzklassen?
Gefragt von: Herr Dr. Torsten Rauch | Letzte Aktualisierung: 28. Juni 2021sternezahl: 4.4/5 (63 sternebewertungen)
Für jedes Element x aus X definieren wir seine Äquivalenzklasse wie folgt: [x] := {y∈ X |y∼ x}. (Manchmal schreibt man auch [x]∼ statt [x], um die Abhängigkeit von ∼ zu betonen.) Es ist nichts anderes als ein Element einer Äquivalenzlklasse, welches dann Symbolisch für alle Elemente steht, die diese Klasse haben.
Wie beweist man äquivalenzrelation?
Für jede Äquivalenzrelation auf einer Menge M gilt: (a) Für a,b ∈ M gilt a ∼ b genau dann, wenn a = b. (b) Jedes Element a ∈ M liegt in genau einer Äquivalenzklasse. Insbesondere ist M also die disjunkte Vereinigung aller Äquivalenzklassen. Beweis.
Wie viele äquivalenzklassen?
Es gibt mehrere Möglichkeiten, dass es zwei Äquivalenzklassen gibt. Eine davon ist zum Beispiel {a,b} und {c}. Das entspricht der Äquivalenzrelation, in der a äquivalent zu a und zu b ist, und c nur äquivalent zu sich selbst ist.
Wann äquivalenzrelation?
Unter einer Äquivalenzrelation versteht man in der Mathematik eine zweistellige Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. ... Eine Äquivalenzrelation teilt eine Menge restlos in disjunkte (elementfremde) Untermengen, Äquivalenzklassen genannt.
Wann sind äquivalenzklassen gleich?
Die Äquiva- lenzklassen sind die Schulklassen und zwei Schüler sind äquivalent, falls sie in der gleichen Klasse sind. ... Zwei Zahlen x, y ∈ Z sind äquivalent falls gilt x ≡ y (mod m).
03 Äquivalenzklassen
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Kann eine äquivalenzrelation Antisymmetrisch sein?
Zeigen Sie, dass R (Äquivalenzrelation) antisymmetrisch ist, wenn R nacheindeutig ist. Aufgabe: Sei M eine Menge und R ⊆ M2 eine Äquivalenzrelation. ... Handelt es sich um eine Gleichheitsrelation, so wäre diese zwangsläufig auch antisymmetrisch.
Was ist ein Vertretersystem?
Eine Teilmenge Z von X heißt Vertretersystem für∼, falls es zu jedem y ∈ X genau ein z ∈ Z gibt mit y∼z. Es ist also nichts anderes als eine Menge Z die immer genau ein Element jeder Äquivalenzrelation enthält.
Wann ist eine Relation Antisymmetrisch?
Wir nennen eine zweistellige Relation R in einer nichtleeren Menge M antisymmetrisch, wenn aus xRy folgt, dass yRx falsch ist, wenn x und y verschiedene Elemente sind:. ... Für alle Paare x,y aus der Menge M für die "x ungleich y" gilt: Aus "x steht in Relation zu y" folgt: "y steht nicht in Relation zu x".
Was bedeutet äquivalenzklasse?
1) Eine Äquivalenzklasse ist eine Untermenge eines Wertebereichs von Aus- und Eingaben, bei denen ein gleichartiges Verhalten der Komponente oder des Systems während des Softwaretests angenommen wird.
Ist die Identitätsrelation Transitiv?
Die Identitätsrelation IdA auf einer Menge A ist stets reflexiv, transitiv, symmetrisch und antisymmetrisch. Reflexivität, Symmetrie und Transitivität können mit Hilfe der Identitätsrelation, der Umkehrrelation und der Komposition wie folgt charakterisiert werden.
Wie viele Relationen gibt es auf einer 3 elementigen Menge?
Also gibt es 2n2 Relationen auf einer Menge mit n Elementen. Bereits bei einer 3-elementigen Menge sind das 29 = 512 verschiedene Relationen!
Was ist ein Repräsentantensystem?
Lexikon der Mathematik Repräsentantensystem
Ist die Menge M mit einer Äquivalenzrelation versehen, und enthält eine Menge R aus jeder Äquivalenzklasse genau ein Element, so wird sie ein Repräsentantensystem der Quotientenmenge M/R genannt.
Was ist eine Gleichheitsrelation?
Hallo, die Gleichheitsrelation auf eine Menge A G = menge((a, a)|a \el\ A) ist die einzige Relation, die sowohl eine Äquivalenzrelation als auch eine Halbordnung ist. Die Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität sind einfach zu zeigen.
Was ist ein Relation?
Als Relation (lateinisch relatio ‚Beziehung, Verhältnis') wird im Allgemeinen ein Verhältnis zwischen einem Seienden oder Ereignis zu einem oder mehreren anderen bezeichnet. „Im einzelnen gibt es einseitige und wechselseitige Beziehungen.
Kann eine Menge Antisymmetrisch und symmetrisch sein?
Die Symmetrie einer zweistelligen Relation R auf einer Menge ist gegeben, wenn aus x R y stets y R x folgt. Man nennt R dann symmetrisch. Die Symmetrie ist eine der Voraussetzungen für eine Äquivalenzrelation. Zur Symmetrie gegensätzliche Begriffe sind Antisymmetrie und Asymmetrie.
Wann ist eine Relation nicht Transitiv?
Wäre die Relation transitiv, so müsste aus „Stein gewinnt gegen Schere“ und „Schere gewinnt gegen Papier“ folgen: „Stein gewinnt gegen Papier“, was aber den Spielregeln widerspricht. Aus diesem Grund kann die Relation nicht mehr transitiv sein, sie ist intransitiv.
Wann ist eine Relation reflexiv?
Die Relation "… ist Teiler von.." hat diese Eigenschaft, denn jede Zahl ist Teiler von sich selbst. Ist dies der Fall, so sagt man die Relation ist reflexiv. R nennt man reflexiv (in M) genau dann, wenn x R x für jedes x M, also wenn jedes x aus der Menge M zu sich selbst in Relation steht.
Wann ist ein Graph Antisymmetrisch?
Der Graph einer antisymmetrischen (ungeraden) Funktion ist symmetrisch bezüglich des Ursprungs (d.h. er geht unter einer Punktspiegelung am Ursprung, also einer Drehung um 180°, in sich selbst über): Jede antisymmetrische Funktion, in deren Definitionsbereich die Zahl 0 liegt, besitzt bei x = 0 eine Nullstelle.
Was ist eine Partition einer Menge?
In der Mengenlehre ist eine Partition (auch Zerlegung oder Klasseneinteilung) einer Menge M eine Menge P, deren Elemente nichtleere Teilmengen von M sind, sodass jedes Element von M in genau einem Element von P enthalten ist.