Monotonie von zahlenfolgen bestimmen?

1. Eine Zahlenfolge (an) heißt genau dann monoton wachsend , wenn für alle n∈ℕ gilt: an + 1≥an bzw. an + 1−an≥0.
2. Eine Zahlenfolge (an) heißt genau dann monoton fallend , wenn für alle n∈ℕ gilt: an + 1≤an bzw. an + 1−an≤0.

1. Eine Folge ist monoton steigend, wenn gilt: an≤an1. ...
2. 2n1. ...
3. gezeigt wird: ...
4. Eine Folge ist nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl S gibt, so dass für alle n gilt an≤S . ...
5. Jede monotone Folge, die beschränkt ist, hat einen Grenzwert, d. h. einen Wert, dem sich die Folgenglieder unendlich nahe annähern. ...
6. 200.
7. gilt n

1. Eine Funktion f:Df→Wf, x↦f(x) heißt nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl s∈R gibt, sodass f(x)≥s für alle x∈D ist. s nennt man dann eine untere Schranke von f.
2. Eine Funktion f:Df→Wf, x↦f(x) heißt nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl s∈R gibt, sodass f(x)≤s für alle x∈D ist.

Wie zeigt man dass eine Folge eine Nullfolge ist?

Die Folge (an)=(1n) ist eine Nullfolge. Beweis: Von einem bestimmten n an (d.h. für fast alle n) muss | an−0 |<ε gelten. (Wählt man beispielsweise ε=0,01, so muss n>100 sein, d.h., alle Glieder der Folge ab a101 haben von 0 einen geringeren Abstand als 0,01, liegen also in der ε-Umgebung von 0.)

Wann ist eine Funktion beschränkt?

Beschränktheit von Funktionen Definition

Eine Funktion ist nach oben beschränkt, wenn es einen Wert gibt (sogenannte obere Schranke), der für alle Funktionswerte f(x) für alle x aus dem Definitionsbereich der Funktion nicht überschritten wird.

Wann ist eine Folge streng monoton steigend?

Bei monoton wachsenden oder monoton fallenden Folgen können aufeinanderfolgende Folgenglieder gleich sein. Wenn jedes Folgenglied echt größer (kleiner) als sein Vorgänger ist, so spricht man von streng monoton wachsenden (fallenden) Folgen.

Was ist ein monoton?

Monotonie (Phonetik), gleichförmige Intonation. Monotonie (Psychologie), psychologischer Begriff für einen Zustand herabgesetzter psychischer Aktivität, der im Alltag als eintönigkeit, einförmig, langweilig, stumpfsinnig, öde, ermüdend empfunden wird.

Ist eine streng monoton wachsende Folge immer divergent?

(a) Jede monoton wachsende, nach oben unbeschränkte Folge ist bestimmt divergent gegen +00. (b) Jede monoton fallende, nach unten unbeschränkte Folge ist bestimmt di- vergent gegen - 00.

Wann ist eine Folge divergent?

Nicht konvergente Folgen heißen divergent. Konvergiert eine Folge nicht, so sagt man, sie divergiert. Eine Folge, die gegen Null konvergiert, heißt Nullfolge.

Wann ist eine Folge eine Cauchy Folge?

Definition. Eine Folge (in K) heißt Cauchy-Folge, wenn für jedes ε > 0 eine Zahl Nε ∈ N existiert mit |an − am| < ε für alle n,m>Nε . Anschaulich gesagt ”verdichten sich” die Folgenglieder an einer bestimmten ”Stelle” (die aber nicht notwendigerweise in K liegen muß).

Ist jede monoton fallende Folge nach oben beschränkt?

Satz. Jede monoton wachsende und nach oben beschränkte reelle Folge ist konvergent (in R) , jede monoton fallende und nach unten beschränkte reelle Folge ist konvergent (in R).

Welche Aussage begründet ein Ansteigen des Graphen von f?

Bei streng monoton steigenden Funktionen steigt der y-Wert, der Funktionswert f(x), mit dem x-Wert. Das heißt, wenn der x-Wert größer wird, wir auch der y-Wert größer. Dies bedeutet mit anderen Worten, dass die Funktion an jeder Stelle steigt.

Wann ist es nicht monoton?

Eine Funktion ist monoton fallend wenn sie immer kleiner wird oder konstant bleibt jedoch nie größer wird. Wenn eine Funktion weder fällt, noch steigt, dann nennt man sie konstant. ... streng monoton fallend werden Funktionen bezeichnet die nur größer bzw. nur kleiner werden aber niemals konstant sind.

Wann hat eine Folge einen Grenzwert?

Eine Zahl a ist genau dann Grenzwert einer Folge, wenn in jeder ε-Umgebung von a fast alle Folgenglieder liegen. Anschaulich bedeutet das natürlich einfach, dass sich die Folgenglieder immer mehr dem Grenzwert annähern.

Wann ist eine Folge nicht beschränkt?

Man nennt eine Folge \langle a_n\rangle unbeschränkt, wenn der Betrag ihrer Folgenglieder, |a_n|, beliebig groß wird. ... Eine Folge \langle a_n\rangle ist beschränkt, wenn es eine Zahl ("Schranke") N>0 gibt, sodass der Betrag aller Folgenglieder kleiner als N bleibt: Für jedes n\in \mathbb N gilt: |a_n|\le N.

Was ist die partialsumme?

Unter der n-ten Partialsumme sn einer Zahlenfolge (an) versteht man die Summe der Folgenglieder von a1 bis an. Die immer weiter fortgesetzte Partialsumme einer (unendlichen) Zahlenfolge nennt man eine (unendliche) Reihe. Mathematisch bedeutsam sind die sogenannten Partialsummen von Zahlenfolgen. ...

Was heißt die Folge ist beschränkt?

Eine Folge an heißt nach oben beschränkt, wenn es eine feste Zahl c gibt, so dass für alle Werte der Folge gilt: anlec. In diesem Fall ist c die obere Schranke. Gilt stets angec für eine feste Zahl, so ist sie nach unten beschränkt und c heißt unter Schranke.