Was ist ein unitär?
Gefragt von: Thorsten Krause-Schreiber | Letzte Aktualisierung: 12. April 2021sternezahl: 4.5/5 (29 sternebewertungen)
Eine unitäre Matrix ist in der linearen Algebra eine komplexe quadratische Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren orthonormal bezüglich des Standardskalarprodukts sind. Damit ist die Inverse einer unitären Matrix gleichzeitig ihre Adjungierte.
Was heißt Unitär?
1) auf Einigung gerichtet oder sie erstrebend. 2) Mathematik: ein Fachbegriff in verschiedenen mathematischen Zusammenhängen. Begriffsursprung: Lehnwort aus dem Französischen vom gleichbedeutenden Adjektiv unitaire
Wann ist eine Matrix Unitär?
Eine Matrix heißt unitär, wenn gilt: AAH=I (1) wobei gilt AH=ĀT (dh. dem komplex kojugierten Transponierten entspricht). Eine lineare Abbildung aus einem unitären Raum in sich selbst ist unitär, wenn ihre Matrix, bezüglich einer orthogonalen Basis, unitär ist.
Wann ist eine Matrix Unitär Diagonalisierbar?
Ist eine Matrix diagonalisierbar, so ist die geometrische Vielfachheit ihrer Eigenwerte gleich der jeweiligen algebraischen Vielfachheit. Das bedeutet, die Dimension der einzelnen Eigenräume stimmt jeweils mit der algebraischen Vielfachheit der entsprechenden Eigenwerte im charakteristischen Polynom der Matrix überein.
Wann ist eine Matrix normal?
gilt. Der Spektralsatz besagt, dass eine Matrix genau dann normal ist, wenn es eine unitäre Matrix gibt, so dass A = U D U ∗ , wobei eine Diagonalmatrix ist. Normale Matrizen haben also die Eigenschaft, dass sie unitär diagonalisierbar sind.
Matrizen - normal, hermitesch, selbstadjungiert, unitär
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Wann ist eine Matrix hermitesch?
Eine hermitesche Matrix ist stets normal und selbstadjungiert, sie besitzt nur reelle Eigenwerte und sie ist stets unitär diagonalisierbar. Eine wichtige Klasse hermitescher Matrizen sind positiv definite Matrizen, bei denen alle Eigenwerte positiv sind. Eine hermitesche Matrix mit reellen Einträgen ist symmetrisch.
Wann ist die transponierte gleich der inversen?
Eine orthogonale Matrix ist in der linearen Algebra eine quadratische, reelle Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren orthonormal bezüglich des Standardskalarprodukts sind. Damit ist die Inverse einer orthogonalen Matrix gleichzeitig ihre Transponierte.
Was bringt das Transponieren einer Matrix?
In der linearen Algebra wird die transponierte Matrix unter anderem zur Charakterisierung spezieller Klassen von Matrizen eingesetzt. Die transponierte Matrix ist auch die Abbildungsmatrix der dualen Abbildung einer linearen Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen bezüglich der jeweiligen Dualbasen.
Wann ist ein Vektor Orthonormal?
4) Eine Familie (vi)i∈I von Vektoren heißt orthogonale Familie, wenn vi ⊥ vj ∀ i ̸= j . Sie heißt orthonormal wenn sie orthogonal ist und ∥vi∥ = 1 ∀ i ∈ I gilt.
Ist die einheitsmatrix orthogonal?
Die Einheitsmatrix ist im Ring der quadratischen Matrizen das neutrale Element bezüglich der Matrizenmultiplikation. ... Sie wird unter anderem bei der Definition des charakteristischen Polynoms einer Matrix, orthogonaler und unitärer Matrizen, sowie in einer Reihe geometrischer Abbildungen verwendet.
Ist jede orthogonale Matrix symmetrisch?
Eine symmetrische Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, deren Einträge spiegelsymmetrisch bezüglich der Hauptdiagonale sind. ... So ist eine reelle symmetrische Matrix stets selbstadjungiert, sie besitzt nur reelle Eigenwerte und sie ist stets orthogonal diagonalisierbar.
Was ist die Inverse der einheitsmatrix?
Die inverse Matrix, Kehrmatrix oder kurz Inverse einer quadratischen Matrix ist in der Mathematik eine ebenfalls quadratische Matrix, die mit der Ausgangsmatrix multipliziert die Einheitsmatrix ergibt. Nicht jede quadratische Matrix besitzt eine Inverse; die invertierbaren Matrizen werden reguläre Matrizen genannt.
Was ist ein Determinant?
Die Determinante einer Matrix ( oder ) gibt an, wie sich das Volumen einer aus Eckpunkten zusammengesetzten Geometrie skaliert, wenn diese durch die Matrix abgebildet wird. Ist die Determinante negativ, so ändert sich zusätzlich die Orientierung der Eckpunkte.
Was ist Orthonormal?
Eine Orthonormalbasis (ONB) oder ein vollständiges Orthonormalsystem (VONS) ist in den mathematischen Gebieten lineare Algebra und Funktionalanalysis eine Menge von Vektoren aus einem Vektorraum mit Skalarprodukt (Innenproduktraum), welche auf die Länge eins normiert und zueinander orthogonal (daher Ortho-normal-basis) ...
Wie bildet man das Skalarprodukt?
Das Skalarprodukt erhält man folglich, indem man die jeweiligen Komponenten multipliziert und anschließend addiert. Gegeben sind zwei Vektoren →a und →b . Das Skalarprodukt nimmt einen Wert von -2 an. Gegeben sind zwei Vektoren →a und →b .
Wie viele orthogonale Vektoren gibt es?
zu gegebenem Vektor orthogonale Vektoren bestimmen.
Anschaulich gesehen, gibt es unendlich viele Vektoren, die zu einem einzigen gegebenen Vektor senkrecht stehen.
Wie transponiert man eine Matrix?
Jede beliebige Matrix lässt sich transponieren. Was ist eine transponierte Matrix? Die transponierte Matrix AT erhält man durch Vertauschen der Zeilen und Spalten der Matrix A .
Was versteht man unter transponieren?
transponieren Vb. 'an eine andere Stelle setzen, übertragen, übersetzen, ein Musikstück in eine andere Tonart versetzen', entlehnt (16.
Was ist ein Transponierter Vektor?
Normal spricht man von Transponierten Vektoren oder Matritzen, wenn Zeilen und Spalten vertauscht werden. Transformieren ist noch etwas anderes. Hinter der Transponierten steht tatsächlich nur eine andere Schreibweise. Die ist aber manchmal gar nicht so schlecht und vereinfacht einige Dinge.