Was ist eine untergruppe?

Gefragt von: Adele Harms MBA.  |  Letzte Aktualisierung: 14. Juli 2021
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In der Gruppentheorie der Mathematik ist eine Untergruppe einer Gruppe eine Teilmenge U von G, die bezüglich der Verknüpfung \circ selbst wieder eine Gruppe ist. Manchmal wird die Kurzschreibweise U\leq G verwendet, zu lesen als „U ist Untergruppe von G“.

Was bedeutet Untergruppen?

Es sei (G, ·) eine Gruppe und U eine Teilmenge von G. Man nennt U eine Untergruppe von G, wenn „U mit der gegebenen Verknüpfung selbst wieder eine Gruppe ist“, d. h. wenn gilt: ... (b) Es sei G eine beliebige Gruppe. Dann sind offensichtlich sowohl {e} als auch G selbst Un- tergruppen von G.

Ist eine Untergruppe eine Gruppe?

Eine Untergruppe, die unter allen Automorphismen der Gruppe in sich abgebildet wird, heißt charakteristische Untergruppe der Gruppe.

Was ist eine Gruppe Lineare Algebra?

In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei drei Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen ...

Wann ist eine Gruppe zyklisch?

Zyklische Gruppen sind jene Gruppen, die von einem Element erzeugt werden, genauer: Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn es ein Element a ∈ G mit G = 〈a〉 gibt. Dabei ist 〈a〉 = {ak | k ∈ Z}. Zyklische Gruppen sind also endlich oder abzählbar unendlich.

Untergruppen, Definition | Mathe by Daniel Jung

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Ist jede abelsche Gruppe zyklisch?

dann nennt man A in diesem Fall additive Gruppe. b heißt Erzeuger oder erzeugendes Element von G. Jede zyklische Gruppe ist abelsch aber nicht jede abelsche Gruppe ist zyklisch. ... Man findet kein Element welches die Menge ℤ2⊕ℤ2 erzeugt.

Wann ist eine Gruppe endlich?

Endliche Gruppen sind etwa die zyklischen Gruppen bis auf die unendliche zyklische Gruppe oder die Permutationsgruppen (siehe: Symmetrische Gruppe, Alternierende Gruppe) endlicher Mengen.

Ist Z eine Gruppe?

Um in der Mathematik Beispiele für Gruppen zu finden, muss man nicht lange suchen. Die ganzen Zahlen Z zusammen mit der Addition bilden eine Gruppe ( Z , + ) (\dom Z, +) (Z,+). ... Übrigens bilden die natürlichen Zahlen N bezüglich der Addition keine Gruppe. Es existiert in der Regel kein inverses Element.

Sind die natürlichen Zahlen eine Gruppe?

(1) Die Menge ℕ der natürlichen Zahlen ist weder bezüglich der Addition noch bezüglich der Multiplikation eine Gruppe. Beide Operationen sind zwar assoziativ und kommutativ (wie in allen genannten Zahlenbereichen), aber keine dieser Operationen ist umkehrbar in ℕ. So ist z.B. die Gleichung 5+x=3 in ℕ nicht lösbar.

Sind die rationalen Zahlen eine Gruppe?

c) Alle rationale Zahlen bezüglich der Subtraktion: Keine Gruppe, da nicht assoziativ (siehe auch Frage 1). d) Alle ungerade ganze Zahlen bezüglich der Multiplikation: Keine Gruppe, es fehlen inverse Elemente.

Was ist die Ordnung einer Gruppe?

Die Ordnung eines Elements a ∈ G ist ordG(a) := min{i ∈ N | ai = 1}. H ⊆ G heißt Untergruppe von G, falls H eine Gruppe ist. Wir bezeichnen mit 〈a〉 := {a,a2,a3,...,aordG(a)} die von a erzeugte Untergruppe. Die von einem Element a erzeugten Gruppen heißen zyklisch.

Was ist Abelsch?

Eine Gruppe heißt abelsch (oder kommutativ), falls ab = ba für alle Elemente a,b gilt; in abelschen Gruppen schreibt man die Gruppenoperation meist als Addition. Eine Gruppe G heißt endlich erzeugt, wenn sie ein endliches Erzeugendensystem besitzt. ... Man nennt diese Gruppe das Produkt der Gruppen A und B.

Ist z 0 eine Gruppe?

(Z\{0},·) ist keine Gruppe, da es zwar ein neutrales Element gibt, aber nicht immer ein inverses Element.

Was ist eine Gruppe Beispiel?

Genauer gesagt: Von einer Gruppe spricht man, falls für eine Menge zusammen mit einer Verknüpfung je zweier Elemente dieser Menge, zum Beispiel „a × b“, die folgenden weiteren Anforderungen erfüllt sind: Die Verknüpfung zweier Elemente der Menge ist wiederum ein Element derselben Menge (Abgeschlos- senheit).

Ist Z ein Körper?

Die rationalen Zahlen bilden (ebenso wie die reellen Zahlen oder die komplexen Zahlen) einen Körper. Dagegen ist in den Zahlenbereichen ℕ und ℤ das Axiom 2 nicht erfüllt, somit bilden diese Strukturen keinen Körper.

Was heißt endlich erzeugt?

Erzeugendensysteme in der Gruppentheorie

Eine solche Zerlegung ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt. Eine Gruppe heißt endlich erzeugt, wenn sie ein Erzeugendensystem aus endlich vielen Elementen besitzt.

Was ist eine multiplikative Gruppe?

In der Mathematik ist die Einheitengruppe eines Rings mit Einselement die Menge aller multiplikativ invertierbaren Elemente. Sie ist mit der Ringmultiplikation eine Gruppe.

Was ist eine zyklische Untergruppe?

Jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist selbst wieder zyklisch. Bew.: Sei G = <a> zyklisch, U Untergruppe von G und b = ak dasjenige Element aus U, mit dem kleinsten positiven Exponenten k. Dann enthält U sämtliche Potenzen von b (wegen Abgeschlossenheit) aber keine anderen Potenzen von a. Sei nämlich ax aus U.

Ist z 4z zyklisch?

Beispiel: Z und Z/nZ sind zyklische Gruppen mit Erzeuger bzw. der Restklasse¯bei einer additiven Verknüpfung.