Beweis relation ist äquivalenzrelation?
Gefragt von: Lucie Hermann | Letzte Aktualisierung: 16. Mai 2021sternezahl: 4.9/5 (60 sternebewertungen)
(b) Eine Relation R heißt Äquivalenzrelation, wenn die folgenden Eigenschaften gelten: (A1) Für alle a ∈ M gilt a ∼ a (Reflexivität). (A2) Sind a,b ∈ M mit a ∼ b, so gilt auch b ∼ a (Symmetrie). (A3) Sind a,b,c ∈ M mit a ∼ b und b ∼ c, so gilt auch a ∼ c (Transitivität).
Wann ist eine Relation Antisymmetrisch?
Wir nennen eine zweistellige Relation R in einer nichtleeren Menge M antisymmetrisch, wenn aus xRy folgt, dass yRx falsch ist, wenn x und y verschiedene Elemente sind:. ... Für alle Paare x,y aus der Menge M für die "x ungleich y" gilt: Aus "x steht in Relation zu y" folgt: "y steht nicht in Relation zu x".
Warum ist Reflexivität aber Teil der Definition einer äquivalenzrelation?
Definition. heißen reflexive Elemente. Sind alle Elemente reflexiv und damit die Relation, so ist sie eine (totale) Äquivalenzrelation.
Wie bestimmt man äquivalenzklassen?
Für jedes Element x aus X definieren wir seine Äquivalenzklasse wie folgt: [x] := {y∈ X |y∼ x}. (Manchmal schreibt man auch [x]∼ statt [x], um die Abhängigkeit von ∼ zu betonen.) Es ist nichts anderes als ein Element einer Äquivalenzlklasse, welches dann Symbolisch für alle Elemente steht, die diese Klasse haben.
Wann ist eine Relation reflexiv?
Die Relation "… ist Teiler von.." hat diese Eigenschaft, denn jede Zahl ist Teiler von sich selbst. Ist dies der Fall, so sagt man die Relation ist reflexiv. R nennt man reflexiv (in M) genau dann, wenn x R x für jedes x M, also wenn jedes x aus der Menge M zu sich selbst in Relation steht.
Äquivalenzrelation technisches Beispiel | Mathe by Daniel Jung
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Wann ist eine Relation nicht reflexiv?
nicht reflexiv: wenn x und y übereinstimmen, kann keine der beiden Gleichungen gelten. Die Punkte auf der Diagonalen gehören nicht zur Relation. symmetrisch: x = y + 1 und x = y − 1 gehen durch Vertau- schung von x und y ineinander über. Die Punkte liegen symme- trisch zur Diagonalen.
Wann ist Menge Transitiv?
Eine Ordinalzahl nach der Definition von John von Neumann ist eine transitive Menge mit der Eigenschaft, dass jedes Element wieder transitiv ist. Ein Grothendieck-Universum ist per definitionem eine transitive Menge. Transitive Klassen werden als Modelle für die Mengenlehre selbst verwendet.
Wie zeigt man dass eine Relation eine Äquivalenzrelation ist?
(b) Eine Relation R heißt Äquivalenzrelation, wenn die folgenden Eigenschaften gelten: (A1) Für alle a ∈ M gilt a ∼ a (Reflexivität). (A2) Sind a,b ∈ M mit a ∼ b, so gilt auch b ∼ a (Symmetrie). (A3) Sind a,b,c ∈ M mit a ∼ b und b ∼ c, so gilt auch a ∼ c (Transitivität).
Wann sind äquivalenzklassen gleich?
Die Äquiva- lenzklassen sind die Schulklassen und zwei Schüler sind äquivalent, falls sie in der gleichen Klasse sind. ... Zwei Zahlen x, y ∈ Z sind äquivalent falls gilt x ≡ y (mod m).
Was ist eine äquivalenzklasse Mathe?
Unter einer Äquivalenzrelation versteht man in der Mathematik eine zweistellige Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. ... Eine Äquivalenzrelation teilt eine Menge restlos in disjunkte (elementfremde) Untermengen, Äquivalenzklassen genannt.
Was bedeutet ∼?
Definition (Äquivalenzrelation, Äquivalenzklasse, Repräsentantensystem) Eine Relation ∼ auf A heißt eine Äquivalenzrelation oder kurz eine Äquivalenz, falls ∼ reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Gilt a ∼ b für a, b ∈ A, so sagen wir, dass a und b äquivalent (bzgl. ∼) sind.
Kann eine äquivalenzrelation Antisymmetrisch sein?
Zeigen Sie, dass R (Äquivalenzrelation) antisymmetrisch ist, wenn R nacheindeutig ist. Aufgabe: Sei M eine Menge und R ⊆ M2 eine Äquivalenzrelation. ... Handelt es sich um eine Gleichheitsrelation, so wäre diese zwangsläufig auch antisymmetrisch.
Was ist ein Repräsentantensystem?
Lexikon der Mathematik Repräsentantensystem
Ist die Menge M mit einer Äquivalenzrelation versehen, und enthält eine Menge R aus jeder Äquivalenzklasse genau ein Element, so wird sie ein Repräsentantensystem der Quotientenmenge M/R genannt.
Wann ist eine Relation nicht Transitiv?
R ist nicht transitiv: Ist y um 2cm größer als x und z um 2cm größer als y, so gilt xRy und yRz. Da aber z nun um 4cm größer als x ist, gilt nicht xRz. R ist nicht antisymmetrisch: Zwei verschiedene Personen, deren Größen sich um höchsten 2cm unterscheiden, stehen in Relation zueinander und sind nicht gleich.
Kann eine Menge Antisymmetrisch und symmetrisch sein?
Weil symmetrisch ist, muss wegen AUCH gelten. Weil (auch) antisymmetrisch ist, muss wegen und auch gelten. Folgerung: Es darf bei gleichzeitig symmetrischen UND antisymmetrischen Relationen keine zwei verschiedenen Elemente geben, die in Relation stehen.
Wann ist eine Relation vollständig?
Eine Relation heißt lineare Ordnung oder totale Ordnung oder Ordnung, wenn sie Halbordnung ist und zusätzlich noch total ist. Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. ist sogar totale Ordnung. auf der Menge der Menschen M ist eine strenge Halbordnung.
Wie beweise ich Reflexivität?
Reflexivität bedeutet, dass a in Relation mit a ist (für alle a). Beispiele für reflexive Relationen wären " " sowie , denn a = a und a <= a für alle a. Hingegen ist " " NICHT reflexiv, da a < a nie gelten kann!
Was ist eine Gleichheitsrelation?
Hallo, die Gleichheitsrelation auf eine Menge A G = menge((a, a)|a \el\ A) ist die einzige Relation, die sowohl eine Äquivalenzrelation als auch eine Halbordnung ist. Die Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität sind einfach zu zeigen.
Wann ist eine Menge symmetrisch?
Die Symmetrie einer zweistelligen Relation R auf einer Menge ist gegeben, wenn aus x R y stets y R x folgt. Man nennt R dann symmetrisch. Die Symmetrie ist eine der Voraussetzungen für eine Äquivalenzrelation. Zur Symmetrie gegensätzliche Begriffe sind Antisymmetrie und Asymmetrie.