Wann ist eine relation eine äquivalenzrelation?

• Reflexivität: Für alle a in M ist (a,a) in R.
• Symmetrie: Für alle a,b in M mit (a,b) in R, gilt auch (b,a) ist in R.
• Transitivität: Für alle a,b,c in M mit (a,b) in R als auch (b,c) in R, gilt (a,c) ist in R.

Ist eine Ordnungsrelation?

Ordnungsrelationen sind in der Mathematik Verallgemeinerungen der „kleiner-gleich“-Beziehung. Sie erlauben es, Elemente einer Menge miteinander zu vergleichen.

Kann eine Menge Antisymmetrisch und symmetrisch sein?

Annahme, es gibt zwei verschiedene Elemente, die in (symmetrischer UND antisymmetrischer) Relation stehen, dann folgt, dass die beiden Elemente gleich sind (s.o.). Also kann (kontrapositorisch) keine Relation sowohl symmetrisch als auch antisymmetrisch sein, wenn zwei verschiedene Elemente in dieser Relation stehen.

Wie gibt man eine Äquivalenzklasse an?

Für jedes Element x aus X definieren wir seine Äquivalenzklasse wie folgt: [x] := {y∈ X |y∼ x}. (Manchmal schreibt man auch [x]∼ statt [x], um die Abhängigkeit von ∼ zu betonen.) Es ist nichts anderes als ein Element einer Äquivalenzlklasse, welches dann Symbolisch für alle Elemente steht, die diese Klasse haben.

Wie beweist man die Reflexivität?

Reflexivität bedeutet, dass a in Relation mit a ist (für alle a). Beispiele für reflexive Relationen wären " " sowie , denn a = a und a <= a für alle a. Hingegen ist " " NICHT reflexiv, da a < a nie gelten kann!

Was ist eine Identitätsrelation?

Identitätsrelation. Sie ist eine technisch wichtige, inhaltlich aber uninteressante Relation und macht Sprachen zu Relationen, ohne an der Menge der erkannten Zeichenketten etwas zu ändern. Obere und untere Sprache der Relation sind identisch mit der zugrundeliegenden Sprache.

Wann ist eine Relation symmetrisch?

Die Symmetrie einer zweistelligen Relation R auf einer Menge ist gegeben, wenn aus x R y stets y R x folgt. Man nennt R dann symmetrisch. Die Symmetrie ist eine der Voraussetzungen für eine Äquivalenzrelation. Zur Symmetrie gegensätzliche Begriffe sind Antisymmetrie und Asymmetrie.

Wann ist eine Menge Transitiv?

Lemma Es sei R eine zweistellige Relation auf der Menge A. Dann gilt: (a) R ist reflexiv genau dann, wenn IdA ⊆ R gilt. (b) R ist symmetrisch genau dann, wenn R−1 ⊆ R gilt. (c) R ist transitiv genau dann, wenn R ◦ R ⊆ R gilt.

Was ist ein Äquivalenzzeichen?

Äquivalenzzeichen sind in der mathematischen Notation verwendete Zeichen für die Darstellung der Größenverhältnisse zweier oder mehrere Zahlen bzw. Terme. Am bekanntesten ist das Gleichheitszeichen (=).

Was bedeutet Relation Spedition?

Die Relation beschreibt in der Logistik ein definiertes Gebiet, in das eine Sendung verschickt wird. Zur eindeutigen Identifikation wird dazu eine Relationsnummer vergeben, zum Beispiel die ersten drei Stellen der Postleitzahl.

Wann ist etwas reflexiv?

Die Reflexivität einer zweistelligen Relation R auf einer Menge ist gegeben, wenn x R x für alle Elemente x der Menge gilt (also jedes Element in Relation zu sich selbst steht). Man nennt R dann reflexiv.

Wann ist eine Funktion reflexiv?

Eigenschaft einer zweistelligen Relation R ⊆ M × M über einer Menge M. R heißt reflexiv, wenn für alle x ∈ M das Paar (x, x) aus R ist, also x mit sich selbst in Relation steht.

Wann ist etwas nicht reflexiv?

nicht reflexiv: wenn x und y übereinstimmen, kann keine der beiden Gleichungen gelten. Die Punkte auf der Diagonalen gehören nicht zur Relation.

Wann sind Äquivalenzklassen gleich?

Zwei Äquivalenzklassen [a] und [b] sind genau dann gleich, wenn aRb, also ihre Repräsentanten zueinander Äquivalent sind. Dazu gibt es einen Beweis: a) Sei [a]=[b], dann ist wegen der Reflexivität b€[b] und damit gilt b€[a],(((also aRb))).

Was sind Äquivalenzklassen Informatik?

Ziel der Bildung von Äquivalenzklassen ist es, eine hohe Fehlerentdeckungsrate mit einer möglichst geringen Anzahl von Testfällen zu erreichen. Die Äquivalenzklassen sind also bezüglich Ein- und Ausgabedaten ähnliche Klassen bzw. Objekte, bei denen erwartet wird, dass sie sich gleichartig verhalten.

Was ist Grenzwertanalyse?

Bei einer Grenzwertanalyse werden die „Grenzen“ der Äquivalenzklasse überprüft. Dabei wird für jedes Ende der exakte Grenzwert und die beiden (innerhalb und außerhalb der Äquivalenzklasse) benachbarten Werte getestet.

Ist eine Relation nicht asymmetrisch so ist sie symmetrisch?

Eine nicht leere asymmetrische Relation ist also niemals symmetrisch. Eine asymmetrische Relation ist zudem stets irreflexiv. Von der Asymmetrie zu unterscheiden ist damit der Begriff der Antisymmetrie, die auch Reflexivität erlaubt. Eine asymmetrische Relation ist somit ein Sonderfall einer antisymmetrischen Relation.

Wie viele Relationen gibt es auf einer n elementigen Menge?

Bekanntlich hat eine Menge mit m Elementen exakt 2m Teilmengen. In unserem Fall ist m = n2. Also gibt es 2n2 Relationen auf einer Menge mit n Elementen.

Was bedeutet asymmetrisch in der Mathematik?

Mathematik. In der Mathematik wird eine Relation, die nicht die Bedingung für Symmetrie erfüllt, nicht symmetrische Relation genannt, und eine solche, wenn sie darüber hinaus die Bedingungen für Asymmetrie erfüllt, als asymmetrische Relation bezeichnet. Davon abzugrenzen ist der Begriff der Antisymmetrie.

Was ist totale Ordnung?

In einer totalen Ordnung gibt es höchstens ein minimales (maximales) Element. Wenn es ein kleinstes (grösstes) Element gibt, dann ist dieses Element minimal (maximal). Diese Aussage gilt nicht umgekehrt. Eine strikte Ordnungsrelation O auf einer Menge M ist eine Relation, die irreflexiv, asymmetrisch und transitiv ist.

Was ist eine partielle Ordnung?

Definition (Ordnungsrelation) Es sei R ⊆ A × A eine binäre Relation auf der Menge A. R heißt Quasi-Ordnung auf A genau dann, wenn R reflexiv und transitiv ist. R heißt partielle Ordnung auf A genau dann, wenn R transitiv, reflexiv und antisymmetrisch ist.